含参不等式恒成立问题

学习必备欢迎下载不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；学习必备欢迎下载（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m的范围。解析：由]1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，]3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，]3,1(m例4：（1）求使不等式],0[,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：由于函]43,4[4),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即a取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数a的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211aa及得到a分别等于2和0.5，并作出函数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212xy在区间)1,1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以]2,1()1,21[a。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例6：若当P(m,n)为圆1)1(22yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则c的取值范围是（）A、1221cB、1212cC、12cD、12c解析：由0cnm，可以看作是点P(m,n)在直线0cyx的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22yx上，实质相当于是1)1(22yx在直线的右侧并与它相离或相切。学习必备欢迎下载12111|10|01022ccc，故选D。含参不等式恒成立问题的求解策略一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a例1．已知函数])1(lg[22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有04)1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2．设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa2）axf)(恒成立max)(xfa例3．已知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当]3,3[x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()(23，则由题可知0)(xF对任意]3,3[x恒成立令01266)(2'xxxF，得21xx或而,20)2(,7)1(aFaF,9)3(,45)3(aFaF∴045)(maxaxF∴45a即实数a的取值范围为),45[。例4．函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1[x，0)(xf恒成立，Oxyx-1学习必备欢迎下载即对),1[x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1[x，只需022axx在),1[x时恒成立而得而抛物线axxxg2)(2在),1[x的最小值03)1()(minagxg得3a注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略解：022axx在),1[x时恒成立，只要xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。例5．已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在],[上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。四、数形结合法1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例7．设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg的图象y学习必备欢迎下载如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx)(xg的图象是平行的直线系03334ayx。要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0,2(到直线03334ayx的距离满足25338ad解得355aa或（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出maxfx，则maxafx；若afx恒成立，只须求出minfx，则minafx，转化为函数求最值。例1、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx在2,x