高三一轮复习课件：排列与组合

第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学1．排列的定义(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的，且元素的(3)n个不同元素的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．一定的顺序一个排列．元素完全相同排列顺序也相同．全部取出第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学2．排列数的定义和排列数公式(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的叫做从n个不同元素中取出m个元素的，用符号Anm表示．全排列数公式：Ann＝n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！.也叫做所有不同排列的个数排列数(2)排列数公式：Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！.n的阶乘．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(3)记住下列几个阶乘：0！＝1,1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720,7！＝5040.3．组合的定义(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的(2)只要两个组合的，不论元素的顺序如何，都是一个组合．元素相同相同的组合．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(3)排列与组合的共同点与区别：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，这是排列、组合的共同点．两者的不同点是，4．组合数的定义和组合数公式(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的，用符号Cnm表示．排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．所有不同组合的个数组合数第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)组合数公式：Cnm＝AnmAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！.5．组合数的性质(1)Cnm＝Cnn－m；(2)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1；(3)rCnr＝nCn－1r－1.第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学1．(2009·四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．360B．188C．216D．96第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[解析]本小题考查排列综合问题，基础题．解法一：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A33C32A42A22＝332种，其中男生甲站两端的有A21A22C32A32A22＝144，符合条件的排法故共有188.解法二：由题意有2A22·(C32·A22)·C21·C31＋A22·(C32·A22)·A42＝188，选B.[答案]B第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学2．(2011·惠州二模)从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种[解析]由题意，可分为三种情况：1男3女，2男2女，3男1女，其选法分别为C41C33，C42C32，C43C31，故共有C41C33＋C42C32＋C43C31＝34种选法，故选D.[答案]D第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学3．(2010·北京，4)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72[解析]不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A92种排法，所以最终有A88·A92种排法．故选A.[答案]A第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学3名男生4名女生排成一列．求满足下列不同要求下的排法数．(1)甲、乙两人排在两头；(2)甲、乙两人必须排在一起；(3)男生必须排在一起；(4)男生互不相邻；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(5)甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；(6)甲、乙两人之间恰有3人；(7)若7人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排列．[解](1)先排甲、乙两人，共有A22种排法，其余5人有A55种排法，故共有A22A55＝240种排法．(2)将甲、乙两人看成一个元素，与其余5人一起进行全排列，有A66种排法，又甲、乙两人之间有A22种排法，故共有A66A22＝1440种排法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(3)将3名男生看成一个整体，当成一个元素，与4名女生先进行全排列，有A55种排法，而男生之间有A33种排法．故共有A55A33＝720种排法．(4)先排女生，有A44种排法，此时她们之间及两端共有5个空位让3名男生排，有A53种排法，从而共有A44A53＝1440种排法．(5)解法一：先将7人进行全排列，其中甲、乙、丙在任何三个位置上的全排列数A33种中只有一种合乎要求，故所第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学解法二：由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在7个位置中任选4个位置让其余4人进行排列即可，故所求不同的排列数为A74＝840.(6)先选3人排在甲、乙之间，有A53种排法，而甲、乙之间有A22种排法．再把这5人看成一个整体，当成一个元素与剩余2人进行全排列，有A33种排法．故共有A53·A22·A33＝720种排法．(7)先在7个位置上任取4个位置排男生，有A74种排法，剩下3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有A74·1＝840种排法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[点评与警示]“站队问题”是排列中具有典型意义的问题．在解答有关排列问题的应用题时，要遵循“先分类后分步”、“先特殊后一般”、“先选元后排队”等原则．对受条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊者优先考虑，再考虑一般的元素和位置．对于必须相邻的元素通常采用”捆绑“法，即可以把相邻元素看作一个整体再与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即“松绑”．对于元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面已排好的元素之间的空档中或两端．此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法，“正难则反”是处理较复杂排列问题的一个重要策略．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学3名男生4名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法数．(1)甲、乙两人不能排在一起；(2)甲不在最左边，乙不在最右边；(3)男生站在一起，女生也站在一起；(4)男女生相间；(5)甲必须站在乙的左边(可不相邻)；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(6)若7人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮；(7)甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起．[解](1)先排其余5人，有A55种排法，此五人之间及两端有6个位置让甲、乙去排，有A62种排法，故共有A55A62＝3600种排法．(2)解法一：先排最左边，让除了甲之外的6人中的一人去排，有A61种排法，其余6个位置的全排列有A66种排法，其中乙排在最右边时的排法有A51·A55种，故共有A61·A66－A51·A55＝3720种排法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学解法二：由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲排在第二、三、四、五、六个位置时，有A51种排法，此时乙有A51种排法，剩下的5人有A55种排法；第二类是甲排在最右边时，其余6人有A66种排法．综上所述，共有A51·A51A55＋A66＝3720种排法．解法三：7个人的全排列，有A77种排法，其中甲在最左边时有A66种排法，乙在最右边时有A66种排法，这两种情形都包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有A55种排法，故共有A77－2A66＋A55＝3720种排法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(3)分别将3名男生，4名女生看成一个元素，其排法有A22种排法，而男生间的排法有A33种，女生间的排法有A44种，故共有A22A33A44＝288种排法．(4)3名男生、4名女生要求男女生相间排列，是指“女男女男女男女”，故共有A33A44＝144种排法．(5)由于甲站在乙的左边(可不相邻)和甲站在乙的右边的排法数相同，故共有A772＝2520种排法．也可以就甲的站法分为6类，所求排法数为A55(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝2520种．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(6)甲站在中间，只有一种排法．把乙、丙看成一个整体，当成一个元素，在甲的左、右两边各有两个位置让他们排，故共有C41A22A44＝192种排法．(7)个子最高的人站在正中间，只有一种方法．从剩下6人中任取3人去排最高个的左边，由于一个比一个矮，因而有A633！种方法，剩下的3人排在最高个的右边，只有1种方法，所以共有A633！＝20种方法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学有9本不同的书．下列情况各共有多少种不同分法？(1)分成3堆，每堆3本；(2)分成3堆，每堆分别为2本，3本，4本；(3)分给甲2本，乙3本，丙4本；(4)分给甲、乙、丙3人，其中甲、乙各得2本，丙得5本；(5)分给甲、乙两人各1本，丙、丁两人各2本，戊3本；第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[解]不妨把9本书记为A、B、C、D、E、F、G、H、K.(1)先从9本书中取3本作一堆，再从剩下的6本书中取3本作一堆，最后3本作一堆，共有C93C63C33种分堆方法，但这里面有重复．若第一步取了ABC，第二步取了DEF，第三步取了GHK，记作(ABC，DEF，GHK)，那么C93C63C33种分法中还包括了(ABC，GHK，DEF)，(DEF，ABC，GHK)，(DEF，GHK，ABC)，(GHK，ABC，DEF)，(GHK，DEF，ABC)，共A33种情况，其实都只能作为同一种分法．故共有C93C63C33A33＝280种分法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(2)分为三步：第一步从9本书中选2本，有C92种选法，第二步从余下的7本书中选3本，有C73种选法，最后余下的四本全选，有C44种选法，由分步乘法计数原理，共有C92C73C44＝1260种方法．(3)先从9本书中取2本给甲，再从余下的7本书中取3本给乙，最后剩下的4本书全给丙，故共有C92C73C44＝1260种给法．本题实质上与问题(2)一致．(4)分步可得：共有C92C72C55＝756种分法．(5)甲先选，有C91种方法，乙再选，有C81种方法，丙再选，有C72种方法，丁再选，有C52种，剩下的3本给戊，所以共有C91C81C72C52C33＝15120种分法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[点评与警示]本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的．解决这类问题的方法是以位置为主，或以元素为主，或先分堆后排列．注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学有9本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？(1)分给3个人，每人3本；(2)分给甲、乙、丙3人，一人3本，一人4本，一人2本；(3)分成3堆，其中有2堆各2本，另一堆5本；(4)分成的本数分别为1,1,2,2,3的五堆；(5)摆在3层书架上，每层3本．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学[解](1)在例1的基础上再分配，共有C93C63C33A33·A33＝1680种方法．另解：从9本书中任选3本书给第1个人，有C93种给法，再由剩下的6本书中选3本给第2个人，有C63种给法，最后3本书给第3个人，有C33种给法，故共有C93C63C33＝1680种给法．第十四章计数原理（选修·理科）高考总复习数学(