2.3.1离散型随机变量的均值

2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值1.离散型随机变量X的分布列的概念是什么？若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下列表格称为X的分布列.pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X2.两点分布与二项分布各有什么特点？两点分布：随机变量X只有0和1两个取值，其分布列为：1()(1)kkPXkpp，k＝0，1.二项分布：每次试验的结果只有A发生和A不发生两种可能，其分布列为：，k＝0，1，2，…，n.()(1)kknknPXkCpp对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们需要知道随机变量的平均取值.因此，如何根据离散型随机变量的分布列，计算随机变量的均值，就成为一个研究课题.1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.（重点）2.掌握离散型随机变量的均值的性质，掌握两点分布、二项分布的均值.（重点）3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．（难点）探究点1离散型随机变量的均值的概念问题一：某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3︰2︰1的比例混合销售，则在1kg混合糖果中，这三种糖果的质量分别为多少？111kg,kg,kg236问题二：以三种糖果的平均单价作为混合糖果的单价是否合理？如何确定混合糖果的合理定价？合理定价为：11118243623/kg.236（元）不合理：问题三：如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，从中任取一颗糖果对应的单价为X，则随机变量X的分布列是什么？混合糖果的合理定价与这个分布列有什么关系？P362418X121316合理定价＝随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和.问题四：若某射手射击所得的环数X的分布列为如何估计该射手在n次射击中每次射击的平均环数？0.220.290.280.110.1P109876X1(0.160.1170.2880.2990.2210)8.42.Xnnnnnn利用分布列计算射手每次射击的平均环数的一般规律是什么？平均环数＝随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和.一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X问题一：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，那么P(Y＝axi＋b)与P(X＝xi)（i＝1，2，…，n）有什么关系？P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi).探究点2均值的性质及特殊分布列的均值问题二：若随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则随机变量Y＝aX＋b的分布列是什么？P(Y＝axi＋b)＝pi，i＝1，2，…，n.问题三：若Y＝aX＋b，则E（Y）与E（X）的关系如何？由此可得E(aX＋b)等于什么？E（Y）＝aE（X）＋b，E(aX＋b)＝aE（X）＋b.问题四：若随机变量X服从两点分布,k＝0，1，则E（X）等于什么？k1-kP(X=k)=p(1-p)E（X）＝p.问题五：若X～B(n，p)，则E（X）等于什么？E（X）＝np.(1)随机变量的均值是常数，而样本的平均值，随样本的不同而变化．(2)对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值．随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？【想一想】例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以.7.03.007.01)0(0)1(1)(XPXPXE例2一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20,0.9),X2～B(20,0.25).所以E(X1)=20×0.9=18，E(X2)=20×0.25=5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样，他们在测验中成绩的均值分别是E(5X1)=5E(X1)=5×18=90，E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.方案3：不采取措施.试比较哪一种方案好.解：用X1，X2，X3分别表示方案1,2,3的损失.采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即无262000,有大洪水；X=2000,大洪水.同样，采用第3种方案，有360000,有大洪水；X=10000，有小洪水；0,洪水.无于是，E(X1)=3800,222E(X)62000P(X62000)2000P(X2000)620000.012000(10.01)2600,3333E(X)60000P(X60000)10000P(X10000)0P(X0)600000.01100000.253100.采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.1．若随机变量X的分布列如下表所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A.0.2B．0.1C.－0.2D．－0.4X0123P0.1ab0.1C2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B5，14，则E(－X)的值为()A.14B．－14C.54D．－54D3．已知ξ的分布列为ξ-1012P14381418则ξ的均值为________．144.如图所示，A，B两点之间有6条并联网线，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中取三条网线．(1)设从A到B可通过的信息总量为X，当X≥6时，可保证使网线通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅通的概率；(2)求通过的信息总量的数学期望．解析：(1)总量为6时，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3，故总量为7时，7＝1＋2＋4＝2＋2＋3，故总量为8时，8＝1＋3＋4＝2＋2＋4，故1122361CC1P(X6);C4+=112236CC11P(X7);C4+=36213P(X8);C20+=总量为9时，9＝2＋3＋4，故故3621P(X9).C10=11313P(X6).4420104=(2)同理P(X＝4)＝110，P(X＝5)＝320，X的分布列为：X456789P1103201414320110故所求数学期望E（X）＝110×4＋320×5＋14×6＋14×7＋320×8＋110×9＝6.5.1.离散型随机变量的分布列只反映随机变量在各取值点的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的均值由随机变量的分布列所惟一确定，且随机变量的均值与随机变量有相同的单位.3.离散型随机变量的均值是常数，样本数据的平均值随着样本的不同而变化，它是一个随机变量.样本数据均值随着样本容量的增加而趋近于随机变量的均值，即总体的均值（如抛掷骰子所得点数的均值）.4.随机变量均值的性质反映了几个重要结论，特别是对于二项分布，利用E（X）＝np求数学期望十分简单.每个人都会累，没人能为你承担所有悲伤，人总有一段时间要学会自己长大.