高中数学人教版必修4第三章 3.1.1

版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学3．1.1两角差的余弦公式版块导航人教A版必修四·新课标·数学目标要求1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、角度变换等．3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均会出现.目标定位版块导航人教A版必修四·新课标·数学热点提示1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应理解该公式的证明过程，要记住这一公式．2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论，以决定函数值的符号．3．本节主要应用了角度的变换技巧，如β＝(α＋β)－α等．4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.版块导航人教A版必修四·新课标·数学点此进入点此进入点此进入版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ，sinβ)；OA→·OB→＝OA→OB→cos(α－β)＝cos(α－β)．2．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.知识预览版块导航人教A版必修四·新课标·数学●想一想：用向量法证明公式Cα－β的过程中角α，β的终边与单位圆分别相交于点A、B，向量OA→、OB→的坐标是如何得到的？版块导航人教A版必修四·新课标·数学提示：由于向量OA→的起点为原点，所以向量OA→的坐标就是点A的坐标，又因为点A在角α的终边上且|OA|＝1，由任意角正弦、余弦函数的定义知sinα＝yA1，cosα＝xA1，因此xA＝cosα，yA＝sinα，即有OA→＝(cosα，sinα)，同理可求向量OB→的坐标．版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．cos345°的值等于()A.2－64B.6－24C.2＋64D．－2＋64自测自评版块导航人教A版必修四·新课标·数学解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.答案：C版块导航人教A版必修四·新课标·数学2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于()A．cos30°B．sin60°C．cos45°D．cos60°解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°.答案：C版块导航人教A版必修四·新课标·数学3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°)＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.答案：12版块导航人教A版必修四·新课标·数学4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα等于________．解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝cosβ.答案：cosβ版块导航人教A版必修四·新课标·数学5．设α∈(0，π2)，若sinα＝35，求2cos(α－π4)的值．解：∵α∈(0，π2)，sinα＝35，∴cosα＝45，∴2cos(α－π4)＝2(cosαcosπ4＋sinαsinπ4)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学利用差角余弦公式直接求值【例1】求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.版块导航人教A版必修四·新课标·数学温馨提示：1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将角度化小一般是化成锐角.2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见的，要注意培养这种能力.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学1求下列三角函数的值：(1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.解：原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos45°＝22.版块导航人教A版必修四·新课标·数学附条件的求值问题【例2】已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，求cos(α－β)的值．思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公式．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：由sinα＋sinβ＝35，两边平方，得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝925.①由cosα＋cosβ＝45，两边平方，得cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1625.②①＋②，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未知角用已知角表示出来．版块导航人教A版必修四·新课标·数学2若cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ＝________.解析：15＝cosαcosβ－sinαsinβ，①35＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①×3－②，得0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴sinαsinβcosαcosβ＝12.答案：12版块导航人教A版必修四·新课标·数学由三角函数值求角问题【例3】已知α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．思路分析：可先求cos(α－β)的值，再求角α－β.版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：∵α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵0απ2，0βπ2.∴－π2α－βπ2.又∵sinαsinβ，∴αβ，即α－β0.∴－π2α－β0.∴α－β＝－π4.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳解这类问题一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求角．版块导航人教A版必修四·新课标·数学3已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.求β.解：由cosα＝17，0απ2，得sinα＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.版块导航人教A版必修四·新课标·数学两角差的余弦公式的综合应用【例4】设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求cosα＋β2.版块导航人教A版必修四·新课标·数学思路分析：由题目可获取以下主要信息：①条件中的角与待求结论中的角存在关系(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2；版块导航人教A版必修四·新课标·数学②由α、β的范围可确定α－β2，α2－β的范围，从而求出sin(α－β2)、cos(α2－β)．解答本题可先用同角三角函数关系求sin(α－β2)，cos(α2－β)．然后利用两角差的余弦公式求cosα＋β2.版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴α－β2∈(π4，π)，α2－β∈(－π4，π2)，∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝1－181＝459.cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝1－49＝53.版块导航人教A版必修四·新课标·数学∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝－19×53＋459×23＝7527.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．版块导航人教A版必修四·新课标·数学4已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.思路分析：考查三角函数求值以及角的变换．利用α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)来求值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解析：∵α、β∈(3π4，π)，∴(α＋β)∈(3π2，2π)．∴cos(α＋β)＝1－sin2α＋β＝45.又(β－π4)∈(π2，3π4)，∴cos(β－π4)＝－513.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.答案：－5665版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．公式的理解(1)该公式是用α，β的正、余弦值之间的关系来表示其差角的余弦值．公式右端的两部分为同名三角函数的积的和，左端为两角差的余弦．(2)公式中的角α，β为任意角．思悟升华版块导航人教A版必修四·新课标·数学2．角的代换(1)将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)等．(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是基本变换，必须引起足够重视．在解题中要善于抓住角的联系，即用已知角表示所求角，使问题容易解决．版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学一、选择题1．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为()A．0B.12C.32D．－12基础达标解析：原式＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.答案：B版块导航人教A版必修四·新课标·数学2．已知cosα＝513，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π4)的值等于()A.5226B．－2213C．－7226D.3213版块导航人教A版必修四·新课标·数学解析：∵co