导数—构造函数

导数—构造函数一：常规的构造函数例一.若33sincoscossin,02，则角的取值范围是()(A)[0,]4(B)[,]4(C)5[,]44(D)3[,)42变式、已知3355xyxy成立，则下列正确的是（B）A.0xyB.0xyC.0xyD.0xy变式.已知()fx为定义在(,)上的可导函数，且()'()fxfx对于xR恒成立且e为自然对数的底，则（）A．2012(1)(0),(2012)(0)feffefB．2012(1)(0),(2012)(0)feffefC．2012(1)(0),(2012)(0)feffefD．2012(1)(0),(2012)(0)feffef变式1.设()fx是R上的可导函数，且'()()fxfx，(0)1f，21(2)fe.求(1)f的值.变式2.()fx为()fx的导函数，若对xR，22()()fxxfxx恒成立，则下列命题可能错误的是A．(0)0fB．(1)4(2)ffC．(1)4(2)ffD．4(2)(1)ff变式3.)(xf是定义在)0,(上的可导函数，其导函数为)('xf，且有2')()(2xxxfxf，则不等式0)2(4)2014()2014(2fxfx的解集为（）A.)2012,(B.)02012(，C.)2016,(D.)02016(，已知函数)(xfy对任意的)22(，x满足0sin)(cos)('xxfxxf(其中)('xf是函数)(xf的导函数)，则下列不等式成立的是（）B.)4()3(2ffB.)4()3(2ffC.)3(2)0(ffD.)4(2)0(ff二：构造一次函数（读题时区分自变量）例二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1a+2x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.三：变形构造函数例三．已知函数21()(1)ln2fxxaxax，1a．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,(0,)xx，12xx，有1212()()1fxfxxx．解：（Ⅰ）（II）例四、已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.四：消参构造函数例五、设函数21fxxalnx有两个极值点12xx，，且12xx．（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224lnfx．【解】（II）由题设和①知22210,2(1),2xaxx于是2222222(1)1fxxxxlnx．设函数22(1)1,gttttlnt则2(12)1gtttlnt当12t时，()0gt；当1(,0)2t时，0,gt故gt在区间1[,0)2是增函数．于是，当1(,0)2t时，1122().24lngtg因此22122()4lnfxgx．五：消元构造函数例六、已知函数，．（Ⅰ）若函数，求函数的单调区间；（Ⅱ）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切．（Ⅱ）∵1()fxx，∴001()fxx，∴切线l的方程为0001ln()yxxxx,http:///即001ln1yxxx,①·····························································6分设直线l与曲线()ygx相切于点11(,)xxe，∵()xgxe，∴101xex，∴10lnxx．··············································8分∴直线l也为00011lnyxxxx，即0000ln11xyxxxx，②································································9分xxflnxexg11xxxfxxl00,xfxA,10xxgy由①②得0000ln1ln1xxxx，∴0001ln1xxx．··············································································11分下证：在区间（1，+）上0x存在且唯一.由（Ⅰ）可知，()x1ln1xxx在区间1,+（）上递增．又12()ln011eeeee，22222213()ln011eeeeee，·············13分结合零点存在性定理，说明方程()0x必在区间2(,)ee上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x．故结论成立．六：二元合一构造函数例七、已知函数21()ln(0)2fxxaxbxa且导数'(1)0f（1）试用含有a的式子表示b，并求()fx的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122(,),(,)AxyBxy如果在函数图象上存在点00(,)Mxy（其中012(,)xxx）使得点M处的切线//lAB，则称AB存在“跟随切线”。特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数()fx上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。解（1）（2）假设存在1122(,),(,)AxyBxy，不妨设120xx，则222121212121211(lnln)()(1)()2ABxxaxxaxxyykxxxx212121lnln1()(1)2xxaxxaxx（1）函数图象在1202xxx处的切线斜率为12120122'()'()(1)22xxxxkfxfaaxx（2）由（1）（2）得：2112212112lnln12()(1)(1)22xxxxaxxaaaxxxx化简得：212112lnln2xxxxxx所以22211211212(1)2()ln1xxxxxxxxxx七：构造函数解不等式例八、设函数f(x)＝mxmmxx12223(其中m-2)的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；（Ⅰ）求m的值与该切线方程；（Ⅱ）若对任意的Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求M的最小值；（Ⅲ）若a0,b0,c0且a+b+c=1，试证明：109111222ccbbaa解：（Ⅰ）m=1，……………2分y=5x+10(过程略)；………………4分（Ⅱ）Mmin=274(过程略)；……………………8分（Ⅲ）xxxxxxf2122223时取等号）（当且仅当（可证明）又时当时取等号当，时，由上知，当311093125027111,31,250272502711110,10,10,1;0,0,0)31(25027125027112750211,02222222222222222222cbaccbbaacbacbacbacbaccbbaacbacbacbaxxxxxxxxxx…14分例九、设函数()ln1fxxpx（Ⅰ）求函数()ln1fxxpx的极值点（Ⅱ）当0p时，若对任意的0x，恒有()0fx，求p的取值范围。（Ⅲ）证明：222222222ln2ln3ln4ln21(,2)2342(1)nnnnNnnn解：八．不等式恒成立中的构造九．极值点偏移中的构造值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.★已知21ln2fxxxmxx，mR．若fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212exx（e为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路于是222121111222111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx．又120xx，设21xtx，则1t．因此，121lnlnln1ttxxt，1t．要证12lnln2xx，即证：1ln21ttt，1t．即：当1t时，有21ln1ttt．设函数21ln1thttt，1t，则222212111011ttthttttt，所以，ht为1.上的增函数．注意到，10h，因此，10hth．学&科网于是，当1t时，有21ln1ttt．所以，有12lnln2xx成立，212exx．学&科网解法二变换函数能妙解证法2：欲证212exx，需证12lnln2xx．若fx有两个极值点1x，2x，即函数fx有两个零点．又lnfxxmx，所以，1x，2x是方程0fx的两个不同实根．显然0m，否则，函数fx为单调函数，不符合题意．由11121222ln0lnlnln0xmxxxmxxxmx，解法三构造函数现实力证法3：由1x，2x是方程0fx的两个不同实根得lnxmx，令lnxgxx，12gxgx，由于21lnxgxx，因此，gx在1,e，e,．[来源:Z*xx*k.Com]设121exx，需证明212exx，只需证明212e0,exx，只需证明212efxfx，即222efxfx，即222e0fxfx．来源：微信公众号中学数学研讨部落即2e1,ehxfxfxx，22221lne0exxhxx，故hx在1,e，故e0hxh，即2efxfx．令1xx，则2211efxfxfx，因为2x，21ee,x，fx在e,，所以221exx，即212exx．学&科网解法四巧引变量（一）证法4：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt