必修5解三角形知识点和练习题(含答案)

1高二数学期末复习专题——解三角形复习要点1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.2．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC.2一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、在ΔABC中，角,,ABC对应的边分别是,,abc，若1sin,2A3sin2B，求::abc3、在ΔABC中，若SΔABC=41(a2+b2－c2),那么角∠C=______.4．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（）A．5B．6C．7D．85．在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．6．在△ABC中，若()()3abcabcac，且tantan33AC，AB边上的高为43，求角,,ABC的大小与边,,abc的长3二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC中，有（）A．cosAsinB且cosBsinAB．cosAsinB且cosBsinAC．cosAsinB且cosBsinAD．cosAsinB且cosBsinA8、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9、钝角ΔABC的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x的取值范围是：10.已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边（1）若ABC面积,60,2,23AcSABC求a、b的值；（2）若Bcacos，且Acbsin，试判断ABC的形状．4三．测量问题11．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？13.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B．53C．63D．7314.一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12mile的海面上有一走私船正以10mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45的方向去追,求追及所需的时间和角的正弦值.15.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C和景点D之间的距离．ABC北东5四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用16、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，那么三边a,b,c的关系是17．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。18．在△ABC中，∠C是钝角，设,coscos,sinsin,sinBAzBAyCx则zyx,,的大小关系是___________________________。19.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，43cosB．（Ⅰ）求CAtan1tan1的值；（Ⅱ）设caBCBA求,23的值。20（2010浙江文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足2223()4Sabc。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB的最大值。621、（2010安徽理数）设ABC是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且22sinsin()sin()sin33ABBB。(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若12,27ABACa，求,bc（其中bc）。22．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin(A＋C)，3)，n＝(cos2B,2cos2B2－1)，且向量m、n共线．(1)求角B的大小；(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．7高二数学解三角形复习专题答案1．B2。1:3:12:3:1或3。45°4。C5解：(1)由C－A＝π2和A＋B＋C＝π，得2A＝π2－B,0Aπ4.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝13，sinA＝33.(2)由(1)得cosA＝63.又由正弦定理，得BCsinA＝ACsinB，BC＝sinAsinB·AC＝32.∵C－A＝π2，∴C＝π2＋A，sinC＝sin(π2＋A)＝cosA，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12AC·BC·cosA＝12×6×32×63＝32.6解：22201()()3,,cos,602abcabcacacbacBBtantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACAC所以有tantan23AC，联立tantan33AC得，tan1tan23tan1tan23AACC或，即000075454575AACC或当0075,45AC时，434(326),8(31),8sinbcaA当0045,75AC时，4346,4(31),8sinbcaA∴当00075,60,45ABC时，8,4(326),8(31),abc当00045,60,75ABC时，8,46,4(31)abc。7．B8。D9。32≤a3.810解：（1）23sin21AbcSABC，2360sin221b，得1b由余弦定理得：360cos21221cos222222Abccba，所以3a（2）由余弦定理得：2222222cbaacbcaca，所以90C。在ABCRt中，caAsin，所以acacb。所以ABC是等腰直角三角形；11．A12。m)31(3013。B14.解:设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,则有120cos240)10(12)14(.120,10,14222xxxACBxBCxAB,.143528120sin20sin,20,28,2BCABx所以所需时间2小时,.1435sin15．解：(1)在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝xkm，则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－83x＋39＝0，解得x＝43±3.∵43＋38，舍去，∴x＝43－3，∴这条公路长为(43－3)km.(2)在△ADB中，ABsin∠ADB＝DBsin∠DAB，∴sin∠DAB＝DB·sin∠ADBAB＝43－310，∴cos∠DAB＝33＋410.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]＝sin(∠DAC＋105°)＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝43－310·2－64＋33＋410·6＋24＝976－220.∴在△ACD中，ADsin∠ACD＝CDsin∠DAC，∴876－220＝CD43－310，∴CD＝3242－68673km.16．a+c=2b17。1218．zyx19．解：（Ⅰ）由,47)43(1sin,43cos2BB得由b2=ac及正弦定理得.sinsinsin2CAB于是BCACAACACCCAACA2sin)sin(sinsinsincoscossinsincossincostan1tan1.774sin1sinsin2BBB（Ⅱ）由.2,2,43cos,23cos232bcaBBcaBCBA即可得由得由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.3,9452)(222caaccaca22．解：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)(2cos2B2－1)－3cos2B＝0.又∵A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝3cos2B，即sin2B＝3cos2B.∴tan2B＝3，又∵△ABC是锐角三角形，∴0Bπ2，∴02Bπ，∴2B＝π3，故B＝π6.(2)由(1)知：B＝π6，且b＝1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－3ac＝1.∴1＋3ac＝a2＋c2≥2ac，即(2－3)ac≤1，∴ac≤12－3＝2＋3，当且仅当a＝c＝6＋22时，等号成立．1020．21．