2014届高三数学一轮复习 第56讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教版

第56讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2012·山西省大同市学情调研)直线y＝kx＋2与圆：x2＋y2＝1没有公共点的充要条件是()A．k∈(－2，2)B．k∈(－3，3)C．k∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．k∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)B解析：由圆心到直线的距离公式可得d＝|2|1＋k21，解得－3k3，故选B.2．(2012·山东省莱芜市高三上期末)若直线y＝kx－1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为()A.3，－3B．4，－3C.3，－1D．1，－1A解析：由题意可得，圆心到直线的距离为12，所以12＝11＋k2，解得k＝±3，故选A.3．(2012·金华十校第一学期期末)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0D解析：因为点P在圆上，所以切线方程为y－3＝－33(x－1)，即x－3y＋2＝0，故选D.4．(2012·山东卷)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离B解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3.两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R－r17R＋r，所以两圆相交，故选B.一直线与圆的位置关系【例1】(1)(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)(2)(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0(3)(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．1解析：(1)圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝2⇔|a＋1|2≤2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1，故选C.(2)因为P(3,1)与圆心C连线的斜率k＝1－03－1＝12，所以kAB＝－2，故选A.(3)因为圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1，所以弦AB的长为2r2－d2＝23.【拓展演练1】(1)(2012·重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心(2)(2012·山东仿真押轴题)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2013·湖北模拟)过点(－1,2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为.解析：(1)圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝11＋k2112＝r，且圆心C(0,0)不在该直线上．故选C.(2)若直线与圆相切，则|a－3＋4|2＝22，解得a＝3或a＝－5，所以“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8相切”的充分不必要条件，故选A.(3)设直线l的斜率为k，则直线方程为：y－2＝k(x＋1)；圆的圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝|2k＋1|1＋k2，所以(|2k＋1|1＋k2)2＋(22)2＝1，解得k＝－1或k＝－17.二圆与圆的位置关系【例2】圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解析：(1)设圆O2的半径为r2.由于两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.所以圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为|r22－12|42＝4－2222＝2，解得r22＝4或r22＝20.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.【拓展演练2】设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4B．42C．8D．82解析：因为两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，故圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a，a)，则有|a|＝a－42＋a－12，所以a＝5＋22，或a＝5－22，故圆心为(5＋22，5＋22)和(5－22，5－22)，故两圆心的距离|C1C2|＝422＋422＝8，故选C.【例3】(1)设集合A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．(2)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→·PB→的最小值为()A．－4＋2B．－3＋2C．－4＋22D．－3＋22三与圆有关的综合问题解析：(1)当m0时，集合A是以(2,0)为圆心，以|m|为半径的圆，集合B是在两条平行线之间．则符合题意的条件是：直线x＋2y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点．从而|2－2m－1|2≤|m|，解得2－22≤m≤2＋22，矛盾；当m＝0时，代入可知矛盾；当m0时，集合A是以(2,0)为圆心，以m2和m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有|2－2m－1|2≤m或|2－2m|2≤m，所以1－22≤m≤2＋2.又因为m2≤m2，所以12≤m≤2＋2.(2)如图所示，设PA＝PB＝x(x0)，∠APO＝α，则∠APB＝2α，PO＝1＋x2，sinα＝11＋x2，PA→·PB→＝|PA→|·|PB→|cos2α＝x2(1－2sin2α)＝x2x2－1x2＋1＝x4－x2x2＋1.令PA→·PB→＝y，则y＝x4－x2x2＋1，即x4－(1＋y)x2－y＝0，由x2是实数，所以Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，即y2＋6y＋1≥0，解得y≤－3－22或y≥－3＋22.所以(PA→·PB→)min＝－3＋22，此时x＝2－1，故选D.【拓展演练3】(1)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A．[－1,1＋22]B．[1－22，1＋22]C．[1－22，3]D．[1－2，3](2)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0解析：(1)曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，即|2－3＋b|2＝2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故可得b＝1＋22(舍去)，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，故选C.(2)要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可，又已知点P(1,1)，则kOP＝1，故所求直线的斜率为－1，又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选A.1.(2012·陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能A解析：因为32＋02－4×30，所以点P在圆内，所以直线与圆相交，故选A.2.(2012·天津卷)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋3]B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C．[2－22，2＋22]D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)D解析：因为直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心(1,1)到直线的距离为d＝|m＋1＋n＋1－2|m＋12＋n＋12＝1，所以mn＝m＋n＋1≤(m＋n2)2，设t＝m＋n，则14t2≥t＋1，解得t∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．3.(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17A解析：作圆C1关于x轴的对称圆C1′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，所以当C2、M、P、N′、C1′共线时，|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，即为|C1′C2|－1－3＝52－4，故选A.4.(2011·江西卷)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)B解析：曲线x2＋y2－2x＝0表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，曲线y(y－mx－m)＝0表示y＝0，或y－mx－m＝0过定点(－1,0)．因为y＝0与圆有两个交点，故y－mx－m＝0也应该与圆有两个交点．由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算，两种相切分别对应m＝－33和m＝33.由图可知，m的取值范围是(－33，0)∪(0，33)．故选B.5.(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.解析：因为圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.由题意知直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.因为ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离|4k－2|k2＋1，所以|4k－2|k2＋1≤2，解得0≤k≤43，所以k的最大值是43.