二重积分概念

第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分目录上页下页返回结束三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第十章目录上页下页返回结束解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D目录上页下页返回结束D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk目录上页下页返回结束4)“取极限”kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小块.DyxO目录上页下页返回结束yx2)“常代变”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量O目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,目录上页下页返回结束DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,yxyxyxf22),(在D:10x10y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D上二重积分不存在.y1x1DO目录上页下页返回结束三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)Dyxfd),(.3DDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(21d),(d),(DDyxfyxf目录上页下页返回结束特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它在与x轴的交点(1,0)处与直线,1yx从而d)(d)(32DDyxyx而域D位于直线的上方,故在D上1y2x1OD目录上页下页返回结束例2.估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyO目录上页下页返回结束例3.判断积分的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd123221ddDyx)34(π2π323D32D11D0)21(π3猜想结果为负但不好估计.舍去此项yxO目录上页下页返回结束xyO8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D目录上页下页返回结束yyxfxxxbad),(d)()(21xbad][四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xy0x),(yxfzzxyabDO记作目录上页下页返回结束ydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作目录上页下页返回结束例4.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222RzxxyzRRO目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1.比较下列积分值的大小关系:目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyOx1D目录上页下页返回结束3.计算解:)cos(yx02π2π0yd2π0d]cos[sinyyyyysincos202π目录上页下页返回结束4.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有d)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxx又D的面积为1,故结论成立.yOx1D1目录上页下页返回结束P1352，4，5P1521(1),8第二节作业目录上页下页返回结束5.04.0I即备用题1.估计的值,其中D为DxyyxI162d22.20,10yx解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D的面积的最大值),(yxfD上在),(yxf的最小值,4252I故yOx2D1目录上页下页返回结束220yx0)ln(22yx2.判断的正负.)10(dd)ln(122yxyxyx解：当1yx时，故0)ln(22yx又当时，1yx于是2)(yx10dd)ln(122yxyxyx1111xyOD