二重积分的计算法

第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法X-型积分区域Y-型积分区域将二重积分化为二次积分与直系下二次积分互化一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy直角坐标系下化二重积分为二次积分(,)zfxy应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,zyx由此得：0x.),()()()(000201xxdyyxfxADyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd则)(0xA),(yxfz),(0yxfzab(,)Dfxyd的值等于以D为底，以曲面为顶的圆柱体的体积，)(2xy)(1xy若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcyd则)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于oxy说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.直线与区域边界相交不多于两个交点.计算中的技巧（问题）：①、先画积分区域草图；②、有无奇偶对称性:X型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的Y型区域的特点：,Dfxydxdy0,,fxy,fxy12`,Dfxydxdy,fxy,fxy关于x奇，D关于y轴对称关于y奇，D关于x轴对称关于x偶，关于y偶，D关于y轴对称D关于x轴对称,(,),fxyfxy称f(x,y)关于x为奇，,(,),fxyfxy称f(x,y)关于x为偶，③、交换积分次序：ⅰ、题目本有要求；ⅱ、出现21sin;lnaxxedxdxdxxx或或ⅲ、二重积分恒等式证明。④、积分原则：与定积分计算基本一致；（先对x积分，视y为常量，对y积分，视x为常量)⑤、何时不得不将积分域D分块？穿入穿出不唯一。xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图01:01xxDxx01:01yyDxyxy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图1201:02xxDxxx201:112yyDyxy212:02xxDxx例3改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解22xaxy22yaaxa2aa222yxa202:22xxaDaxxaxx=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdya2aa2a21220:2yyaDyxaaya22220:yyaDaxaay232:22yayaDyxaaxy211xyo221dy例4.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y例5.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则例6.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:00:xDyxDyxxxddsin0sindxxyx0dsinxx20dx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例7．求I=2,:1,yDedxdyDyyyx轴，围成；oxyDxy110Idy解:由被积函数可知,取D为X–型域:01:1xDxy因此取D为Y–型域:01:0yDxy210yeydy21012ye1112.e20yyedx先对y积分不行,例8．求I=oxy2Dxy112III解:被积函数关于x为奇，关于y为奇201:yDyxy因此取D分为两部分:110:xDxyx11D1221Dxyxydxdy2221Dxyxydxdy000.22111,:,,DxyxydxdyDyxxy围成；例9.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224xyokkkrr二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为krkrkkkrdddrrDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(drrddrd)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(dDo)(1r)(2r1.极点在积分区域外设0():,rD则AoD)(r0()(cos,sin).frrrdrDrdrdrrf)sin,cos(d设20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD则2.极点在积分区域的边界上3.极点在积分区域的内部若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(适合类型：①、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；②、被积函数含22xy因子。注意的问题：①、必须画出积分区域图；②、特别注意积分向量r、限的确定问题；③、不要忘记rrdxdydd积分限的决定：一般来讲，定好是比较关键的r::表示常数曲线任意一点到极点的距离①积分限的确定（一般)02ⅰ、假设极点在闭区域D内，则：02ⅱ、若极点在区域D之外或边界上：看区域D夹在?与?之间，以此来定的范围（通过图形来看）；注意：ⅱ、外层一定是常数限；ⅲ、选定还是r②r积分限的确定（仍用穿刺法）具体做法：在D内任找一点，从原点0出发向外作射线（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），先穿出的的边界解出的为下限，后穿出的边界解出的r为上限。ⅰ、上限必须大于下限；例1.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.例2：求I=2222369,:.Dyxydxdyxya其中0199DdxdyA解：；022;Dydxdy033-60.DDxdxdyydxdy2369DDDDydxdyxdxdyydxdydxdyI22200sin009adrrdra42232220001sin999.44aardrdraaa其中A为D的面积内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2roxy若积分域较复杂,可将它分成1D2D3D若干X-型域或Y-型域,321DDDD则(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式