概率知识点总结及题型汇总

概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②三、概率1、一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=mn．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；(3)运用公式求事件A的概率：P(A)=mn．5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个;（2）各结果发生的可能性相等；例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。例2、下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是（3）从分别写有1，3，5，7中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1，或3或5或7。是6、古典概率模型在一次实验中,可能出现的结果有限多个，每个基本事件出现的可能性相等。将具有以上两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。例题：（1）从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．（2）从标有数字1，2，2，3，4，5的6个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，解题时注意对概率意义的理解.在（1）这次摸球实验中，共有5中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的一种结果，那么摸出号码是2的概率．为1/5.在（2）这次摸球实验中，共有6中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的二种结果，那么摸出号码是2的概率．为2/6=1/3.7、求概率的通用方法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法．列举法包括枚举法、列表法、树状图法（1）枚举法（列举法）：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。四、频率与概率1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。五、概率公式中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。在概率公式P(A)=mn中m、n取何值，m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。0≤m≤n,m、n为自然数∵0≤mn≤1,∴0≤P(A)≤1.当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1，当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.0≤P(A)≤1六、几何概率1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。（1）几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.2)每个基本事件出现的可能性相等.（2）在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:七、例题汇总（一）确定三事件例1下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小（1）抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上；（2）367人中有2人的出生日期相同；（3）1+3＞2；（4）太阳从西边升起．解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．（1）抛掷一枚均匀的骰子，1，2，3，4，5，6点都有可能朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天，故367人中必然有2人的出生日期相同；（3）1+3肯定大于2；（4）太阳不可能从西边升起．由以上分析知：（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不可能事件．（2）（3）（4）是确定事件发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义．必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0和1之间．例2、下列事件属于必然事件的是（）A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员C.实数a＜0，则2a＜0D.新疆的冬天不下雪解析：A是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B为随机事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会下雪．故选C例3、（福建龙岩）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（）．A．1B．2C．3D．4B解析：③④是确定事件（二）概率意义的理解例1、某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？为什么？解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%.点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定（面积或体积）面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成)(构成事件A的区域长度P(A)常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论．随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的．例2、下列说法正确的是（）A.某市“明天降雨的概率是75％”，表示明天有75％的时间会降雨B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是1100”表示抽奖l00次就一定会中奖D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交解析：明天降雨的概率是75％是说明明天有75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为1100，指的是每抽奖一次都有1100的可能性中奖；故A、B、C都错，因而选D.（三）利用简单枚举法求概率例1某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片．（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？（2）一次，小聪购买了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．解析：（1）每次摸奖时，有5种情况，只有摸到号码是2的球才中奖，于是得到一张精美图片的概率是P=15；（2）不同意，因为小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是15，所以他第5次不一定中奖．点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，解题时注意对概率意义的理解.例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是．解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有12种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于311242、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比．设每个方格的面积是1，则P（这粒豆子停在黑色方格）=31124．点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积．例3、掷两枚硬币，求下列事件的概率（1）两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4种。并且这四个结果出现的可能性相等。用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:正反正(正,正)(正,反)反(反,正)(反,反)（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”所以P（A）=1/4（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”所以P（B）=1/4（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即“正反”“反正”所以P（C）=2/4=1/2例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与3cm长的线段构成三