地热学-chp3

地热学Geothermometry成都理工大学MaoLifeng2009年9月1日Chp3地温场的热传递方程•3.1一维热传导方程•3.2傅里叶定律与热传导微分方程•3.3热对流•3.4热辐射方程•3.5传导和对流共存时的热传递方程Chp3地温场的热传递方程•本章主要介绍地温场的正演问题，对热传递的三种方式：传导、对流和辐射方式下的数理方程进行推导、求解，重点掌握一维热传导方程、传导和对流共存时的热传递方程的推导和求解，为以后使用有限差分、有限元等方法进行复杂模型的正演打下基础，并可深入理解热传递的机理。3.1一维热传导方程•热流q为一矢量，其方向与温度梯度相反，总是由温度高的地方流向温度低的地方（热力学第二定律），即：其中k为热导率，单位为w/（m‧K）。•设均匀各向同性介质密度为,比热为c,封闭介质的曲面为S,S内介质体积为V,V内分布着热源,热源和热流所提供的热量导致介质温度升高,升高率为,由能量守恒定律,可得:一般情况下,热导率k是空间位置的函数,若k是一个常数,则上式化为,记为热扩散率,单位为m2/s.ΤqgradtTSvvAdVqdsdVtTccTctTA2ca3.1一维热传导方程在许多实际问题中，介质可以看作是由平面平行层组成，各层内介质为均匀各向同性的导热介质。这时，介质就是一维的，对应的热传导方程为若S内无热源,即A=0,则热传导方程变为:•如果温度不随时间变化,则热传导方程分别变为:(有热源,泊松方程)；(无热源,拉普拉斯方程)；在简单模型情况下,给定初始统计和边界条件时,这些热传导方程才有解析解.初始条件即起始条件,计算地热问题最常用的初始条件为t=0时,对所有空间点,T=常数.如岩浆侵入过程中,围岩的温度.边界条件是指模型的边或表面,边界条件可能与时间有关.kAT202TcAxTatT22TatT2ca3.1一维热传导方程•计算地热问题时,常用的边界条件有:1.模型的表面温度不变(T0=常数,对于t≥0),如地球表面的年平均温度.2.表面温度做周期变化(T=T0sin(wt),对于t≥0),如地球表面的日变化.3.恒定的热流密度(Q=常数,对于t≥0),如在一个构造单元内,来自上地幔的热流密度被认为是不变的.4.不同介质界面时的边界条件：在大多数情况下，不可能精确地指定穿过界面的热传递量，但可以近似地表示如下简单形式：系数a是通过热辐射和热对流的物理过程决定的。)(saq)]exp(1[)exp(/)(20000HxKHAHhHAxxQTxT•计算地热正演问题的热源加入方法:1.略去(无热源区域,A=0).2.层内热源为常数(A=A0).3.热源是空间位置的函数(如A=A0exp(-x/H))，此时，泊松方程的解为：其中，T0是上界面的温度，Q0是流出上界面的热流密度；h是层的厚度，A0是上界面的生热率，k是热导率，H是生热率减小到只为上边界生热率的1/e=0.368时的特定距离。如果生热率A=A0为常数，上式简化为：如果A＝0，解拉普拉斯方程，得到：式中温度梯度是常数。TxTxQTxTgrad1)(0003.1一维热传导方程200021)(xAxQTxT3.1一维热传导方程热平衡下的介质温度•由热传导方程，在热平衡状态时，方程的解为其中，C1，C2为待定常数。给出边界条件为表面（x=0）处的温度为T0、热流为q0，则可确定：故上式中，q0和A是两个独立的测量值。若取某个介质厚度为h，则由T0及k可计算介质底面的温度Th。cAxTatT220tT21221CxCxkAT0201,/TCkqC20021xkAxkqTT3.1一维热传导方程热平衡下的介质温度•若无热源，则A＝0，底面温度为此时，q0完全来源于层下；若层下无热源而A在层内是均匀分布的，则q0完全来自层内，即q0＝Ah，故一般说，q0有一部分来自层下，另一部分则来自中间的热源。如何区分这两种来源的热流，则仍可借助于介质表面的观测数据得到，伯奇（F·Birch）和洛埃（R·F·Roy）等人利用观测地面热量的办法，指出地面热流与热强度有一直线关系：q*是直线在上q0轴上的截距，D是直线的斜率。q*是来自无源层的热流，即q0中来源于层下的部分。hkqTTh00/2100hqTThADqq*03.1一维热传导方程地表周期性热流的传导•一昼夜或一周年的地面温度循环可以看作是周期性的，假定地下岩性均一和各向同性，平坦的地面（z=0m）温度循环采取以下形式：T是温度变化周期，t为时间，为T周期内地面平均温度，为温度变化幅度。考虑无源的一维热传导方程其中z为垂直地面向下方向。用地面温度为边界条件解热传导方程得：tTt2sin00),0(22zat00)2sin()exp(00),(zaTtTzaTtz3.1一维热传导方程地表周期性热流的传导•用地面温度为边界条件解热传导方程得：上式表明：地壳最上层任一深度上温度变化周期不随深度而变化，地面温度变化向深处传播时，地温变化幅度随深度z的增加按指数规律减小，即：令，L可称为衰减系数。结果表明，如深度以算术级数增加，其对应温度变化幅度则以几何级数减小（）；同时也表明，温度变幅随深度衰减强度依周期的减小而增大。0)2sin()exp(00),(zaTtTzaTtzLaTzzzzee220::1::)zaTexp(0z地表周期性热流的传导•在深度z处温度极值滞后的时间为（公式中提取2pi/T)相位滞后的时间为由上两式可知，当深度时，温度变化极值滞后的时间恰为周期的一半（T/2），而相位滞后则为。在这个深度上，温度的变化与地面温度变化正相反，即一年之中，温度最高值出现在冬季，最低值出现在夏季。•同一地点，以T1和T2为周期的温度变幅作相同倍数衰减的对应深度z1和z2之比等于两周期平方根之比，换言之，按上式，当，则有，上式表明，如果T1和T2分别为年和日，则有即温度的年变化影响深度为日变化影响深度的19.1倍。aT2zataTzzaTz)2z2aTexp()1z1aTexp(2T1T2z1z1.191365zz：：日年地表周期性热流的传导热扩散率作为同一周期两个深度z1和z2及其温度变幅或其相位滞后之差（）的函数来表达，即：故可由观测野外观测数据计算a值。需要指出的是地表边界条件仅表示地面温度变化对地下温度的影响，如果考虑大地热流值引起的升温和附加的地温梯度，则地壳最上层的温度为：地温梯度为：)zaTexp(0zaTzz21和T22)1z2z(T2)2ln1(ln2)1z2z(a)zaTtT2sin()zaTexp(00)t,z()zaTtT2sin()zaTexp(0qz0)t,z()4zaTtT2sin()zaTexp(aT20q)t,s(G地表周期性热流的传导以一般岩石为例，设热扩散率a=0.01cm2/s,在的深度上，温度变幅之比为，即以比率1/23减小。如周期为1日，温度变幅的1/23的深度为52cm；如果周期为1年，的1/23的深度为10m。设地面温度年变幅度为30oC，在10m深处的温度变幅为30*1/23=1.3oC；而在20m深处的温度变幅则为30*（1/23)2=0.05oC，故可认为恒定。)/(1.2kmWTaz0z和)exp(0衰减到z0衰减到z地表周期性热流的传导•设地面一个周期(年)内平均温度为20度，周期变温度幅度为5度，热扩散率为0.01cm2/s,则一个周期(年)内的温度变化与深度的关系如下图：地表周期性热流的传导•不同深度时的温度变幅与年周期内各时间的关系。024681012-5-4-3-2-1012345Time/月变温的幅度/度不同深度时的温度变化幅度与时间的关系z=0mz=5mz=10mz=20mz=30m地表周期性热流的传导•考虑大地热流值引起的升温和附加的地温梯度时的不同深度时的温度变幅与年周期内各时间的关系。加入大地平均热流q=0.0615地表周期性热流的传导•考虑大地热流传导的影响后的不同深度时的温度变幅与年周期内各时间的关系。024681012-5-4-3-2-1012345Time/月温度变化幅度/度加上地下向上传导热流时地表周期温度变化下的地温场幅度变化与时间关系z=0mz=5mz=10mz=20mz=30m3.2傅立叶定律与热传导方程•回顾温度场、稳定温度场、非稳定温度场的概念•温度梯度：在一个温度场连续分布的介质体内，介质空间某点（x，y，z）上在时间t时的温度梯度•根据傅里叶定律，某个点上通过单位截面积的热流量q为式中k为热导率。表明：介质体内的热流量将沿温度降低的方向运移。q表示介质在点（x，y，z）处单位时间里通过单位截面积所传递的热量。q是矢量，可表示为（qx,qy,qz).),,,(tzyxTTkzTjyTixTtzyxgradT),,,()(),,,(kzTjyTixTgradTtzyxq3.2傅立叶定律与热传导方程•傅立叶定律给出了通过某个面积的热量计算公式，除了特别简单的情况外，依据它还不能求解物体的温度场，必须在傅立叶定律和能量守恒定律的基础上进一步推导，获得表达传热问题的基础上微分方程式。为减小问题的复杂性，假定所研究的物体为各向同性。在该物体中分割出一微小的平行六面体，该微元体的体积为dv＝dxdydz，在时间t内微元体dv的温度为，升温率dtd3.2傅立叶定律与热传导方程•温度升高有两个原因：一为传入微元体的热量超过该微元体输出的热量；另一为微元体内部有热源。前者，在时间dt内微元体的存热量在x轴方向为(qx-qx+dx)dydzdt。因qx+dx的数值是x坐标的未知数，将它用泰勒级数展开并取前两项，有：，故上式表示在x点上时间dt内通过dydz面积的热流量，减去x+dx点上dt时间内通过dydz面积的热流量，等于时间dt内微元体dv储存的热量。上式右边可写成因固体的热导率与位置无关，故x轴上热流增加为同理，y、z轴方向的热量增加分别为故六面体dxdydz在时间dt内获得的热量为：dxxqqqxxdxxdvdtxqdydzdtdxxqqqxxxx)]([dvdtxx)(dvdtx22dvdtzdvdty2222、dvdtzyx)(2222223.2傅立叶定律与热传导方程•如果微元内有热源存在，其生热率为A，则在时间dt内产生的热量为Advdt。此外，在时间dt内微元体dv存储热量的增加为，式中，c为介质的比热容，为密度。•根据能量守恒定律，微元内存热加上内部生热量等于微元体存热量的增加，即：两边除以得：上式可写为：，即为傅立叶微分方程式dttdvcdttcAdvdtdvdtzyx)(222222dvdtctcAzyxc)(222222ctzyxAct),,,(23.2傅立叶定律与热传导方程•如果物体内没有热源，即A＝0，则:式中，为介质的热扩散率。它表明物体在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能力，a越大，则在同样的外部加热或冷却条件下，物体内部各处的温度差就越小。•如果温度不随时间变化，则傅立叶微分方程式变为称为泊松方程式。如果A＝0，温度也不随时间变换，方程式进一步简化为拉普拉斯方程式:可以看出，稳态下温度与a无关。2atca),,,(2tzyxA