4.3.1利用导数研究函数的单调性(1)

3.3.1利用导数研究函数的单调性(第一课时)00000设函数fx在包含x的某个区间上有定义，如果比值fx+d-fx在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值,则称此极限值d为函数fx在x=x处的1.导数的定义：导或,记作数微商fx000fx+d-fx符号语言表示：　　→fx　　　d→0　　d2、导数的几何意义：0000f(x)表示曲线y=f(x)在点M(x,f(x))处的切线的斜率,即f(x)=tanα,(α为倾角)00过(x,f(x))的切线方程为：000y-y=f(x)(x-x)3、求导数的步骤：（1）求平均变化率；（2）取极限，得导数.复习准备1))))))x23一些基本的初等函数导数公式（）(c)=(2)(x)=(3)(x(4)(x1(5)(x(6)(x(7)(x(8)(e01)))))))xxxxxxa(9)(a(10)(lnx(11)(log(12)(sin(13)(cos(14)(tan(15)(cot2x23x21x1xxelnxaa10)xx（0101(,l,)naxaaxcosxsinx21cosx21sinx12x基本初等函数的导数公式可以分为四类:第一类为幂函数:nn-1′y=x=nxn∈R第二类为三角函数:′′sinx=cosx;　cosx=-sinx2211′′tanx=;　　cotx=-cosxsinx第三类为指数函数:xx′y=a=alnaxxxx′′′当a=e时,e是a的一个特例,即:e=e第四类为对数函数:a1′y=logx=xlnaa1′′′当a=e,lnx是logx的一个特例,即:lnx=x请牢记!!!函数y=f(x)在给定区间(a,b)上，当x1、x2∈(a,b)且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在(a,b)上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在(a,b)上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上有单调性。G称为单调区间G=(a,b)引例:判断函数的单调性34)(2xxxf点击解(定义法）：设则21xx)x)(xx(xxxxx)f(x)f(x444212122212121上单调递减，在上单调递增在函数时，当时，当2),2()()()(2)()(22112212121xfxfxfxxxfxfxxxx108642-2-4y-10-5510xOXY图象法变式：判断函数单调性xxxf4)(3课程讲授1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内结论一:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf例1、判断函数的单调性34)(2xxxf解(导数法）：42)(/xxf2x042)(2x042)(//得有得有xxfxxf是减函数时，当是增函数时，当)()2,(-x)(),2(xfxfx解(定义法）：设则21xx)x)(xx(xxxxx)f(x)f(x444212122212121上单调递减，在上单调递增在函数时，当时，当2),2()()()(2)()(22112212121xfxfxfxxxfxfxxxx求函数的单调区间xxxf4)(3例2、求函数的单调区间)32ln()(xxf解：233323)(/xxxf3220x,(,)()3x-2333220x,(,)()3x-233xfxxfx由得当时，是单调递增函数由得当时，是单调递减函数由032x得：32x0233323)(/xxxf没有单调增区间），，的单调减区间为（函数32)(xf【正解：】注意:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.x训练2：求函数fx=-ln1+x+1的单调区间.2解:函数的定义域是(-1,+∞),.)1(211121)(xxxxf由即得x-1或x1.,0)1(210)(xxxf又函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是[1,+∞);由解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).0)(xf验证利用导数讨论函数单调性的步骤:y=f(x)(1)求的定义域D(2)求导数).(xf(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;解不等式组得f(x)的单调递减区间.¢Îf(x)0xD¢Îf(x)0xD反思小结导数法求函数的单调区间的一般步骤:（1）求出函数f（x）的定义域A；（2）求出函数f（x）的导数；)(xf（3）不等式组的解集为f（x）的单调增区间；()0xAfx（4）不等式组的解集为f（x）的单调减区间；()0xAfx注意:单调区间不以“并集”出现。0xfxf增函数0xf0xfxf减函数0xf边界应代入检验！！xf增函数xf减函数例3已知导函数的下列信息：当时，当x3或x-1时，；当x=3或x=-1时，.试画出函数图象的大致形状.13x()0fx()0fx()0fx解：当－1＜x＜3时，f′(x)＜0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x＞3和x＜－1时，f′(x)＞0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＝－1和x＝3时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．训练3：函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是()3,32-课堂小结1.求函数f(x)单调区间的步骤是：先确定定义域，再求出f′(x)，最后通过解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0求出单调区间．正确运用求导公式对函数进行求导，准确熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功．2.当函数的增减区间有多个时，区间之间不能用并集符号合并，也不能用“或”，应该用“，”隔开或用“和”．3.如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)是常数函数．如果在某个区间内只有有限个点使f′(x)＝0，其余点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形与增函数的情形类似)．达标检测BBA-4问题探究：确定函数f(x)=x/2+sinx的单调区间.解:函数的定义域是R,.cos21)(xxf令,解得0cos21x).(322322Zkkxk令,解得0cos21x).(342322Zkkxk因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:);)(322,322(Zkkk).)(342,322(Zkkk