2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第5讲函数的解析式与定义域

第五讲函数的解析式与定义域回归课本1.函数解析式的定义函数的解析式就是用数学运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式．解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”．函数的解析式是组成函数的三大部分之一，是函数重要组成部分．函数的解析式可以是一个式子，也可以是多个式子，这时每一式子对应的自变量分别在不同的范围内取值．如函数y＝x＋1x＞0x2x≤0的解析式就是由两个式子组成．2．(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)根据函数解析式求函数定义域的依据是①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx(x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z)，余切函数y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．(3)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[a，b]．(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(6)求定义域的一般步骤：①写出函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数的定义域．答案：C考点陪练1.(2011·安徽涡阳二中模拟)函数f(x)＝3x21－x2＋lg(3x＋1)的定义域是()A.－∞，－13B.－13，13C．(－13，1)D．(－13，＋∞)解析：1－x20，3x＋10，⇒－1x1，x－13，∴x∈(－13，1)．2．设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，在x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则x1时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝(x＋3)2－1B．f(x)＝(x－3)2－1C．f(x)＝(x－3)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1的对称轴为x＝－1，最小值为－1，又y＝f(x)关于x＝1对称，故在x1时，f(x)的对称轴为x＝3且最小值为－1.故选B.答案：B答案：C3．已知f(x)的定义域是[－2,2]，则f(x2－1)的定义域是()A．[－1，3]B．[0，3]C．[－3，3]D．[－4,4]解析：由－2≤x2－1≤2⇒－1≤x2≤3⇒0≤x2≤3⇒－3≤x≤3.答案：C4．函数y＝xx－1＋x的定义域为()A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}解析：xx－1≥0，x≥0，⇒x∈{x|x≥1}∪{0}．答案：B5．若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2解析：由题意先求f(x－1)的解析式，x＝lny＋1⇒y＝e2(x－1)，即f(x－1)＝e2(x－1)，∴f(x)＝e2x.类型一求函数的解析式解题准备：求函数的解析式一般有四种情况：1．根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式．2．当题中给出函数特征，求函数解析式时，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a、b、c的值即可．3．换元法求解析式，f[R(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设R(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解．4．解方程组法，已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f1x等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[分析]求复合函数的解析式一般用代入法，只需替换自变量x的位置即可．【典例1】已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，x≥0，－1，x0.求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式．[解析]x≥0时，g(x)＝x2，f[g(x)]＝2x2－1；x0时，g(x)＝－1，f[g(x)]＝－2－1＝－3，∴f[g(x)]＝2x2－1，x≥0，－3，x0.当2x－1≥0，即x≥12时，g[f(x)]＝(2x－1)2；当2x－10，即x12时，g[f(x)]＝－1.∴g[f(x)]＝2x－12，x≥12，－1，x12.[点评]求解分段函数的有关问题，应注意“里”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，应分段写出函数的解析式．分段函数是一个整体，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式．探究：(1)已知f(x－2)＝3x－5，求f(x)．(2)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．(3)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．解析：(1)令t＝x－2，则x＝t＋2，t∈R由已知有：f(t)＝3(t＋2)－5＝3t＋1故f(x)＝3x＋1.(2)∵f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x令1－cosx＝t则cosx＝1－t∵－1≤cosx≤1，∴0≤1－cosx≤2，∴0≤t≤2∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，(0≤t≤2)故f(x)＝－x2＋2x，(0≤x≤2)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1故有2a＋b＝b＋1a＋b＝1⇒a＝b＝12.因此，f(x)＝12x2＋12x.[点评]①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)；将x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中，求得f(t)的解析式；再用x替换t，便得f(x)的解析式．注：换元后注意确定新元t的取值范围．②利用待定系数求解析式时，主要寻求恒等关系解出等式中的未知数．类型二求函数的定义域解题准备：1.若f(x)是整式，则f(x)的定义域是R.2．若f(x)是分式，则要求分母不为零．3．若2nfx(n∈N)，则要求f(x)≥0.4．若logaf(x)(a0且a≠1)，则要求f(x)0.5．若arcsinf(x)或arccosf(x)，则要求|f(x)|≤1.6．若同时出现上述几种情况，则分别找出各自的定义域然后求交集．【典例2】求下列函数的定义域．(1)y＝12－|x|＋x2－1；(2)y＝25－x2＋lgcosx.[解析](1)由2－|x|≠0x2－1≥0得x≠±2，x≤－1或x≥1.∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．(2)由25－x2≥0，cosx＞0.得－5≤x≤5，2kπ－π2＜x＜2kπ＋π2k∈Z.∴函数的定义域为－5，－32π∪－π2，π2∪3π2，5.[点评]求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍．类型三求抽象函数的定义域解题准备：抽象函数的定义域对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：1．f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)在范围[a，b]内，如f(3x－1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x－1)中的x的范围是1≤x≤2.2．f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．【典例3】(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(2x2)的定义域．(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域．(3)已知函数f(x2－1)的定义域为(2,5)，求函数f1x的定义域．[解析](1)因为f(x)的定义域为[0,1]，所以0≤2x2≤1，即0≤x2≤12.解这个不等式，得－22≤x≤22.即函数f(2x2)的定义域为[－22，22]．(2)因为函数f(2x＋1)的定义域为[1,2]，所以1≤x≤2.即3≤2x＋1≤5.所以，函数f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数f(x2－1)的定义域为(2,5)，所以2x5.即3x2－124.所以，函数f(x)的定义域为(3,24)．所以31x24，即124x13.因此，函数f1x的定义域为124，13.类型四函数的建模应用解题准备：由实际问题抽象出函数关系式，就是用函数知识解决实际问题的基础．解这类题的一般步骤是：①设元；②列式；③用x表示y；④考虑定义域(这个定义域必须使实际问题有意义)．【典例4】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂价为p元，写出p＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)[分析]关键是利用条件建立函数模型解决．[解析](1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550，故一次订购550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0x≤100时，p＝60；当100x550时，p＝60－0.02(x－100)＝62－x50；当x≥550时，p＝51.(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获利润为L元，则L＝(p－40)x＝20x0x≤10022x－x250100x550，其中x∈N，11xx≥550当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润是6000元，如果订购1000个，利润是11000元．快速解题技法(青岛模拟)设函数f(n)＝k(其中n∈N*)，k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.1415926535…，则＝________.快解：从表面上，进行100次求值较繁锁，故可通过内层的一组求值探求规律．∵f(10)＝5，f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…∴从此以后均为f(1)＝1，故原式的值为1.答案：1