04 频率特性法――奈氏判据和伯德图判据

5.3频率稳定判据一、开环频率特性与闭环频率特性的关系二、Nyquist判据三、对数稳定判据四、Nyquist判据和对数稳定判据的关系一、开环频率特性与闭环频率特性的关系为什么可以用开环系统的频率特性来研究闭环？开环频率特性闭环频率特性？闭环系统的极点分布在S的左半平面1+G(s)H(s)=0时S的值都在左半平面F(s)=1+G(s)H(s)的零点都在S左半平面分析开环系统G(s)H(s)的零点都在S左半平面若开环系统G(s)H(s)的曲线包围S的右半平面时，没有零点，即Z=0，则表示只分布在S左半平面。幅角定理：R=P-Z，其中，P表示极点个数，Z表示零点个数，R表示包围圈数。若满足稳定，则R=P，其中，P为右半平面极点的个数。闭环系统稳定)()(1)()(sHsGsGs详解见附件四一、开环频率特性与闭环频率特性的关系开环频率特性闭环频率特性G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s))()(1)()(sHsGsGs二、奈斯判据奈斯判据：s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从-∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点R圈。若R=P（右半平面极点个数即正实部极点的个数）时，系统稳定。1、圈数R如何确定？2、P的值？重点掌握1、圈数R如何确定——闭合曲线不含积分环节时，不需要画补偿线。含积分环节时，需要画补偿线。方法：从然后从ω=0-开始，对应的G(jω)H(jω)以无穷大为半径，按逆时针方向画v*90°的圆弧（v/4个圆）。并顺时针标上箭头，与ω=0+曲线相接，成为封闭曲线。二、奈斯判据重点掌握1、圈数R如何确定？幅角定理：R表示Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差。NNNR=2NN表示正穿越的次数。N表示负穿越的次数。二、奈斯判据Nyquist稳定判据穿越法穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下(相角增加)穿过-1~-∞段实轴，用表示。G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。0N负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上（相角减少）穿过-1~-∞段实轴，用表示。NImRe0(－1，j0)+ImRe0(－1，j0)_正穿越负穿越补充半次穿越：若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。+1/2次穿越-1/2次穿越Nyquist稳定判据穿越法重点掌握1、圈数R如何确定？查看是否含有积分环节，若有积分环节，需要补偿曲线。R=2N=2(N+-N-)N表示正穿越的次数。N表示负穿越的次数。二、奈斯判据：总结Nyquist稳定判据：当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时(P为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。R=2N=2(N+-N-)=P二、奈斯判据：实用表达P=0P=2注意：分析G(jω)H(jω)轨迹穿越(-1,j0)点以左的负实轴。例：两系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知其开环极点在s右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。解：闭环稳定0NNNP02NR闭环稳定211NNNP22NR例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。ImRe00R0P1PImRe0R0K(a)(b)解：(a)N=N+-N–=（0-1）=-1，P=0，故Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。(b)K1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K1时，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，故Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，闭环系统不稳定。二、奈斯判据：详解见附件五二、奈斯判据思路总结Nyquist稳定判据：当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时(P为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。R=2N=2(N+-N-)=P重点掌握注意：若有积分环节，则需要补偿曲线。三、对数频率稳定判据Nyquist图上以原点为圆心的的单位圆Bode图幅频特性上的0dB线单位圆以外Bode图L(ω)0的部分；单位圆内部Bode图L(ω)0的部分；)(lg20)(LwAw0)(L1)(wwA时，当Nyquist稳定判据：-180)(w)0j-1(，三、对数频率稳定判据1.Bode图与Nyquist图之间的对应关系Nyquist图上的负实轴Bode图相频特性上的φ(ω)=－1800线奈氏图上的(-1,j0)点便和伯德图上的0dB线及-180°线对应起来。(-1,j0)点以左实轴的穿越点Bode图L(ω)0范围内的与－180°线的穿越点。即奈氏判据中找（-1，j0）点的左侧，即为Bode图中L(ω)0与φ(ω)=－180°线的穿越点。Nyquist图与Bode图的对应关系cc三、对数频率稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)穿越-π线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。Bode图上的稳定判据R=2N=2(N+-N-)=P注意：正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线；负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线。例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。正负穿越数之差（N+-N-）为1Z=P-2N=2-2=0系统闭环稳定P=2解：例：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。正负穿越数之差为0系统闭环稳定P=0解：4.条件稳定系统若开环传递函数在右半s平面的极点数P=0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。