1.1.3 导数的几何意义 课件(24张PPT)

1.1.3导数的几何意义1高二数学选修2-2第一章导数及其应用xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：000xxyfxxxfxy＝函数＝在＝处的导数，记作：或表示“平均变化率”ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ＝００xy附近的变化情况。＝反映了函数在处的瞬时变化率，＝在表示函数＝000x0xxxxxfxylimxf2一、复习导数的定义其中：⑴其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,,,,,,.什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211PQoxyy=f(x)割线切线T一、曲线上一点的切线的定义结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.点P处的割线与切线存在什么关系？新授xoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义△x△yPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy导数的几何意义例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.22103(1)31|limxxxyx解：2210[(1)1](11)|limxxxyx解：22(1)yx切线方程：20xy即：（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.题型：导数的几何意义的应用2036limxxxx0lim3(2)xx6202lim2xxxx练习:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx2230133()()lim3xxxxxxx22201lim[33()].3xxxxxx例2．求抛物线y=x2过点(，6)的切线方程。52解：点(，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为5222000000()()()limlimxxfxxfxxxxxx20002()lim2xxxxxx又因为此切线过点(，6)和点(x0，x02),52所以此切线方程的斜率为2x0，所以20006252xxx即x02－5x0+6=0，解得x0=2，或x0=3，所以切线方程为y=4x－4或y=6x－9.二、函数的导数：函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。0x0()fx()fx0xx0x0()fx()fx0x0()fx0x()fx课堂小结２求利用导数求曲线上P(x0,f(x0))处的切线方程①先求出该点的导数即切线的斜率；②再利用点斜式求出切线方程)(0xfk))(()(000xxxfxfy１、导数的几何意义练习题1．曲线y=x2在x=0处的（）A．切线斜率为1B．切线方程为y=2xC．没有切线D．切线方程为y=0D2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为（）A．4B．16C．8D．2C3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f’(x0)的几何意义是（）A．在点x=x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D．点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率C4．已知曲线y=x3上过点(2，8)的切线方程为12x－ay－16=0，则实数a的值为（）A．－1B．1C．－2D．2B5．若f’(x0)=－3，则＝（）A．－3B．－6C．－9D．－12hhxfhxfh)3()(lim000D6．设y=f(x)为可导函数，且满足条件,则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为（）A．2B．－1C．D．－212)1()1(lim0xxffx21D