2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析)：必修1-§4

知识点一函数的零点1．函数零点的概念(1)定义对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，就是函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二几类函数模型及其增长差异1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax知识点三应用函数模型解决问题的基本步骤用已知函数模型解决实际问题的基本步骤第一步：审题，设出变量．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．第三步：解函数模型．第四步：将所得结论转译成具体问题的解答．题型一零点个数的判断例1(1)函数f(x)＝lnx－1x－1的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a＞1时，方程f(x)＝f(a)的实数根的个数为________．答案(1)C(2)3解析(1)如图画出y＝lnx与y＝1x－1的图象，由图知y＝lnx与y＝1x－1(x0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝lnx－1x－1的零点有2个．(2)令g(x)＝f(x)－f(a)，即g(x)＝x2＋2x－a2－2a，整理得g(x)＝1ax(x－a)(ax2＋a2x－2)．显然g(a)＝0，令h(x)＝ax2＋a2x－2.∵h(0)＝－2＜0，h(a)＝2(a3－1)＞0，∴h(x)在区间(－∞，0)和(0，a)上各有一个零点．∴g(x)有3个零点，即方程f(x)＝f(a)有3个实数解．感悟与点拨函数零点个数的确定，常从函数单调性分析，结合零点存在性定理或数形结合来判断．跟踪训练1若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12答案C解析因为2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0，－12.题型二根据函数零点存在情况求参数例2已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案0，12解析作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．则y＝a的图象只能夹在y＝0与y＝12的图象之间，故a的取值范围是0，12.感悟与点拨根据函数的零点存在情况求参数．常用如下方法处理：(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．跟踪训练2设函数f(x)＝2sinx，x∈[0，π]，|cosx|，x∈π，2π]，若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．[1,2]C．(0,1]D．(1,2)答案A解析画出函数f(x)在[0,2π]的图象，如图所示：若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象知0＜m＜1.题型三函数与方程思想的应用例3已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根．解(1)方法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．方法二作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的大致图象(如图所示)．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的大致图象(如图所示)．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异的实数根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．感悟与点拨求函数零点的值、判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．跟踪训练3已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b＞1，函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R，若方程f(x)－a＝0只有两个不同实数根，则实数a的取值范围是()A．[－2，－1]∪(1,2)B．(－2，－1]∪(1,2]C．[－2，－1]∪[1,2]D．(－2，－1]∪(1,2)答案B解析由x2－2－(x－1)≤1，解得x∈[－1,2]，故f(x)＝x2－2，x∈[－1，2]，x－1，x∉[－1，2]，画出函数图象如图所示，由图可知当f(x)＝a有两个不同实数根时，a的取值范围为(－2，－1]∪(1,2]．题型四函数应用问题例4某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元B．20元C．30元D.403元答案A解析依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，所以100k＋20＝100m，即k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，故选A.感悟与点拨函数应用问题、文字量往往比较大，所以解决此类问题，一般要审读、提炼、建模．就本题而言：(1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析题目提供的信息，从题目内容可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．跟踪训练4某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5000元降到2560元，则平均每次降价的百分率是()A．10%B．15%C．16%D．20%答案D解析设平均每次降价的百分率为x，则由题意得5000(1－x)3＝2560，解得x＝0.2，即平均每次降价的百分率为20%，故选D.一、选择题1．函数f(x)＝x2－|x|－6，则f(x)的零点个数为()A．4B．3C．2D．1答案C解析当x0时，令x2－x－6＝0，解得x＝－2或3，∴x＝3；当x0时，x2＋x－6＝0，解得x＝2或－3，∴x＝－3.∴f(x)的零点个数为2.2．若方程13x＝12x有解x0，则x0所在区间是()A．(2,3)B．(1,2)C．(0,1)D．(－1,0)答案C解析令f(x)＝13x－12x，∵f(0)＝10，f(1)＝－230，∴f(0)f(1)0，∴方程13x＝x12的解所在区间为(0,1)．3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A．y＝log2xB．y＝2x－1C．y＝x2－1D．y＝－x3答案B解析当x＝0时，y＝log2x无意义，故A错误；y＝x2－1在(－1,0)上单调递减，故C错误；y＝－x3在(－1,1)上单调递减，故D错误．∵y＝2x－1在(－1,1)上单调递增，f(－1)＜0，f(1)＞0，∴y＝2x－1在(－1,1)内存在零点．4．若函数f(x)＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，则m的取值范围为()A．[－1,0]∪[1,2]B．[－2，－1]∪[0,1]C．[－1,1]D．[－2,2]答案A解析令f(x)＝x2－2mx＋m2－1＝0，可得x1＝m－1，x2＝m＋1，∵函数f(x)＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，∴0≤m－1≤1或0≤m＋1≤1，∴－1≤m≤0或1≤m≤2.故选A.5．已知函数f(x)＝12x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析令f(x)＝0，得12x＝cosx，分别作出函数y＝12x和y＝cosx的图象，由图象可知y＝12x和y＝cosx在[0,2π]上有3个交点，∴f(x)在[0,2π]上有3个零点，故选C.6．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析因为函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)上是单调递增函数，且f(0)＝－10，f(1)＝10，所以根据零点存在性定理可知，在区间(0,1)上函数的零点个数为1，故选B.7．(2017年4月学考)若实数a，b，c满足1ba2，0c18，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0()A．在区间(－1,0)内没有实数根B．在区间(－1,0)内有一个实数根，在(－1,0)外有一个实数根C．在区间(－1,0)内有两个相等的实数根D．在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根答案D解析由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(0)＝c0，f(－1)＝a－b＋c0，∵1ba2,0c18，∴04ac1，∴Δ＝b2－4ac0.又对称轴为x＝－b2a∈(－1,0)，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根，故选D.8．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0答案B解析当x≤0时，只有一个零点－3，当x＞0时，也只有一个零点e2.9．(2017年11月学考)已知1是函数f(x)＝ax2＋bx＋c(abc)的一个零点．若存在实数x0，使得f(x0)0，则f(x)的另一个零点可能是()A．x0－3B．x0－12C．x0＋32D．x0＋2答案B解析由题意可知a＋b＋c＝0，又∵abc，∴a0，c0，∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的较大的根．∵f(x0)0，∴x01，由另一个零点小于x0知C，D不正确．∵ab，∴ba1，∴－b2a－12.设另一个零点为x2，则x2＋12－12，∴x2－2.对于A，∵x01，∴x0－3－2，排除A.当a0bc时，－1ba0，对称轴－b2a∈0，12，∴x2＋12∈0，12，∴x2∈(－1,0)．又x01，B中x0－12∈－∞，12，∴f(x)的另一个零点可能是x0－12.故选B.10．(2018年4月学考)设a为实数，若函数f(x)＝2x2－x＋a有零