2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第四讲 推理与证明课

随堂讲义专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第四讲推理与证明推理与证明类的题，因为高考特点，一般在小题中出现，大题中推理的思想方法会体现出来的．例1将全体正整数排成一个三角形数阵；按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．解析：解法一从数值计算的角度找规律，要求第n行(n≥3)从左向右的第3个数，先统计出每一行(从第3行开始)的第三个数分别是6，9，3，18，24，…，而这列数的规律是相邻两个数的差成等差数列，即9－6＝3，13－9＝4，18－13＝5，24－18＝6，…，用数列中的项来表示，即a3＝6，a4＝9，a5＝13，a6＝18，a7＝24，…，从而a4－a3＝3，a5－a4＝4，a6－a5＝5，a7－a6＝6，…，an—an－1＝n－1.将以上各式相加得an－a3＝3＋4＋5＋…＋(n－1)＝（n＋2）（n－3）2.所以要求第n行(n≥3)从左向右的第3个数为an＝（n＋2）（n－3）2＋a3＝n2－n＋62.解法二从数值计算的角度找规律，要求第n行(n≥3)从左向右的第3个数，关键求出第n行的第一个数，现在先统计出每一行的第一个数分别为：1，2，4，7，11，…，而这列数的规律是相邻两个数的差成等差数列，即2－1＝1，4－2＝2，7－4＝3，11－7＝4，….用数列中的项来表示，即a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11，…，从而a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1.将以上各式相加得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n（n－1）2.所以要求第n行(n≥3)从左向右的第3个数为n（n－1）2＋a1＋2＝n2－n＋62.解法三从图形的角度考虑找规律，后一个数总比前一个数大1且下一行总是比上一行多一个数，前(n－1)行共排列了1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n（n－1）2个数．所以第n行的第3个数应为n（n－1）2＋3＝n2－n＋62.以数值、图形和图表为载体，考查归纳推理是一种常见题型，解决此类问题时，通常先将所求部分运用特殊化思想逐一列出统计数值，并观察计算，然后进行比较分析，将相邻数值进行加减运算，有意识地往等差数列或等比数列方向考虑，最后运用等差数列和等比数列的知识探求规律，写成数学表达式的形式．以三角形数阵为背景的问题很多，大多可以采用以上方法求解．1．(2015·陕西卷)观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…，解析：等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.例2已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列．(2)求数列{an}的通项公式．(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．思路点拨：解答本题第(1)问：可根据bn＝an＋1－an(n∈N*)将已知等式变形构造出bn与bn－1的关系式．第(2)问；可用叠加法求an.对第(3)问：由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利用{an}的通项公式和q的值，推证an－an＋3＝an＋6－an(n∈N*)．解析：(1)由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1(n≥2)．又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)可知，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，所以当n≥2时，an＝1＋1－qn－11－q，q≠1，n，q＝1，上式对n＝1显然成立．(3)由(2)知，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1，由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得，q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)，于是q＝－32，另一方面，an－an＋3＝qn＋2－qn－11－q＝qn－11－q(q3－1)，an＋6－an＝qn－1－qn＋51－q＝qn－11－q(1－q6)，由①可得an－an＋3＝an＋6－an，n∈N*，所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．演绎推理是由一般到特殊的推理．数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．2．在数列{an}中a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列．(2)求数列{an}的前n项和Sn.(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．解析：(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1.所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝4n－13＋n（n＋1）2.(3)对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝4n＋1－13＋（n＋1）（n＋2）2－4[4n－13＋n（n＋1）2]＝－12(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．例3已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列．(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．思路点拨：第(1)问用反证法，第(2)问用综合法．解析：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列．(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋123an－2n＋14＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn.又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－23bn，可知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn.(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析：(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2.故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)，n∈N*.(2)由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．例4等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值．(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．思路点拨：(1)由Sn＝bn＋r求an，再由a2＝ba1求r.(2)转化所证不等式，利用数学归纳法证明．解析：(1)由题意，Sn＝bn＋r.当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.∴an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，∵b0且b≠1，∴n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又∵a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，∴a2a1＝b（b－1）b＋r＝b，∴r＝－1.(2)由(1)知当b＝2时，an＝2n－1，∴bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立．即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，由当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32（k＋1）k＋12k＋32（k＋1）＝2k＋32k＋1.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1＞k＋2，即证2k＋32＞（k＋1）（k＋2），∵2k＋32＝（k＋1）＋（k＋2）2（k＋1）（k＋2）成立，故2k＋32k＋1＞k＋2成立．所以当n＝k＋1时结论成立．由①②可知n∈N*时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．(1)在用数学归纳法证明第(2)问时，涉及不等式的放缩和均值不等式的应用，证明过程中对式子的变形方向应非常清晰．(2)在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一是“凑”假设，二是“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．4．已知点Pn(an，bn)满足：an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝bn1－a2n，n∈N*，且已知P013，23.(1)求过P0，P1的直线l的方程．(2)判断点Pn(n≥2)与直线l的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)由P013，23知a0＝13，b0＝23，得b1＝23÷1－132＝34，a1＝13×34＝14.∴点P114，34.∴过点P0，P1的直线l的方程为x＋y＝1.(2)由a1＝14，b1＝34，得b2＝45，a2＝14b2＝15，∴P2∈l.猜想点Pn(n≥2，n∈N*)在直线l上，证明如下：①当n＝2时，点P2∈l.②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，点Pk∈l，即ak＋bk＝1.当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝ak·bk＋1＋bk＋1＝(1＋ak)bk＋1＝bk1－ak＝1.∴点Pk＋1∈l.由①②知，点Pn∈l(n≥2，n∈N*)．1．归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的．2．演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论一般是准确的．3．分析法是从未知看需知，再逐步靠近已知，是寻求解题思路的好办法．4．当结论中含有“至少”“至多”“不全是”“全不是”“唯一”等词语或以否定语句出现时，常用反证法．5．掌握好数学归纳法的正确书写格式，“三次结论，关键处详细书写”．