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直线与椭圆的位置关系——相交主要问题:(1)相交的条件(2)交点坐标(3)求弦长(4)中点弦及弦的中点有关问题直线与椭圆的位置关系一、点与椭圆的位置关系A·B·C·点P(x0,y0)在椭圆内点P(x0,y0)在椭圆上点P(x0,y0)在椭圆外2200221xyab2200221xyab2200221xyab二、直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)222201AxByCxyab消元一元二次方程判别式000相交相切相离弦长公式:||1||212xxkAB例2、已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F,(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.的取值范围。交点,求恒有与椭圆已知直线例mmyxkxy1512.221三、有关弦的中点问题OABM1.椭圆,点M是弦AB的中点,求证12222byax22ABOMbkka.,164)0,6(.222的中点的轨迹方程求的弦作椭圆过MNMNyxQ](94)3[(22椭圆内部分)yx于该直线对称。椭圆上总有不同两点关使得对于直线的取值范围试确定已知椭圆,4,,134:3.22mxymyxC.,,44.422的取值范围轴上截距在求这两点对称轴任意相异两点上关于坐标轴不对称的曲线是若的方程是已知曲线txLCBAyxC)2323(t答案:分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,000022454045404145xyxyd且22001259xy作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.lmm例3椭圆,直线:,椭圆上是否存在一点,到直线的距离最小?最小距离是多少?最大呢?221259xy45400xyll例5椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率它与直线x+y+1=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ.求椭圆方程.,23e例4求椭圆上的点与直线2x–y+10=0的最大距离.14922yx思考1:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点,过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点,求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组例6思考1:已知点12FF、分别是椭圆2212xy的左、右焦点,过2F作倾斜角为4的直线,求1FAB△的面积.解:∵椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例42212016xy分析:∵椭圆的焦点为(2,0),(2,0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.M练1:已知椭圆的焦点为,在直线上找一点,求以为焦点,通过点且长轴最短的椭圆方程.22195xy12,FF:60lxy12,FFM.,164)0,6(.222的中点的轨迹方程求的弦作椭圆过MNMNyxQ](94)3([22椭圆内部分)答案:yx的取值范围。恒有交点,求与椭圆直线为何实数无论byxbkxyk149,.422则的两个端点的坐标是设弦解),(),,(:12211yxByxAAB1242121yx12y4x2222(1)(2)(1)-(2)得到2)yy)(yy(4)xx)(xx(21212121.212422k,)yy(4)xx(2xxyyAB21212121即.03y2x)1x(211y即所求的直线方程是点差法.2323,)22(43:,0),(4:,4,441,41:),(),,(),,(.30000000000100121002211txxxyxxxyyyABxykyxkxykkkyxMAByxByxA因此得令的中垂线是于是即由点差法得的中点解:设中垂例1.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=,过左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠F2F1M=,当取何值,MN等于短轴长?24)0(ab2PP221例2经过椭圆(ab0)的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦.求该弦长度.12222byax椭圆的通径练习:经过Q(6,0)作椭圆x2+4y2=16的弦MN.求弦MN的中点的轨迹方程.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A,B两点,M是线段AB的中点,OM的斜率为求m,n的值.,22AB.22AB0.b1a1OB1OA1OBOA,1byax)2(22222222为定值则有,若中椭圆方程例2、如图,已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是,试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM思维挑战题:试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.1122m练2:直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx练习巩固:1.过椭圆221164xy内一点(2,1)M引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方程.2.椭圆221164xy上的点到直线220xy最大距离是________.3.已知椭圆的焦点12(3,0),(3,0)FF且和直线90xy有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.240xy102214536xy
本文标题:2.2.3椭圆的简单几何性质(3)-直线与椭圆的位置关系
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