变量间的相关关系(优秀教案)

《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修3第二章西方流传的一首民谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？【创设情境】问题1：两个变量间的相关关系的含义是什么？从总的变化趋势来看变量之间存在某种关系，但这种关系又不能用函数关系精确表达出来，即自变量取值一定时，因变量带有一定的随机性；如：“吸烟有害健康”，“名师出高徒”，“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”，“城门失火殃及池鱼”等；【创设情境】问题2：两个变量间的相关关系与函数关系的区别与联系是什么？联系：均是指两个变量的关系；区别：函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定关系.ABCDABDC练习：1、下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画：（1）汽车紧急刹车（速度与时间的关系）（2）人的身高变化（身高与年龄的关系）（3）跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）（4）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）2、下列两变量中具有相关关系的是（）A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积C.成人的身高和视力D.身高和体重D探究1：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6【探究新知】年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6（1）根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？（2）为了确定更明确的关系，以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？（1）根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.大体上看，上表中的数据，随着年龄的增加，人体脂肪含量也在增加；（2）为了确定更明确的关系，以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量该图叫做散点图.从散点图可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.（3）甲同学判断某人年龄在65岁时体内脂肪含量百分比可能为34，乙同学判断可能为25，丙同学则判断可能为37，你对甲，乙，丙三个同学的判断有什么看法？（4）散点图是研究相关变量特征的重要手段，该图中点的分布（变化趋势、形状等）有什么规律？年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6从散点图上可以看出，这些点散布在从左下角到右上角的区域内，而且大致分布在通过散点图中心的一条直线附近；（4）散点图是研究相关变量特征的重要手段，该图中点的分布（变化趋势、形状等）有什么规律？051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量1、散点图：表示两个变量的一组数据的图形，散点图是研究相关变量特征的重要手段；2、正相关、负相关：正相关：点散布在从左下角到右上角的区域内；负相关：点散布在从左上角到右下角的区域内．051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量运鱼车的单位时间与存活比例00.511.500.20.40.6单位时间存活比例051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量3、线性相关关系：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线的方程简称回归方程.探究2：只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系.如何求出这条直线方程呢？【探究新知】方案一：画出一条直线，使其过尽可能多的样本点；051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量方案二:在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量方案三:在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪上面的方法虽然有一定的道理，但费时、费力且精度差.实际上，求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”．id当自变量x取xi（i=1,2,…,n）时可以得到回归直线上的点的纵坐标为：它与样本数据yi的偏差是：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，且所求回归直线方程是：，其中是待定系数.(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)ˆybxaba,ˆ(1,2,,)iiybxainˆ()iiiiyyybxa而ˆ||siniiidyy，这样，用这n个偏差的和来刻画“与此直线的整体偏差”是比较合适的．(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)ˆ||iiyyid运算不方便避免相互抵消各点与直线的整体偏差1ˆ()iniiyy求的最小值1ˆiiniyy求的最小值21ˆ)iniiyy求(的最小值2211222()()()nnQybxaybxaybxa问题就归结为：当,ab取什么值时Q最小.这种通过求：的最小值而得到回归直线的方法，即求样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.2221122()()()nnQybxaybxaybxa1122211()()ˆ,()ˆˆ.nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx4、回归方程的系数公式：回归方程，其中：axbyˆˆˆ1122211()()ˆ,()ˆˆ.nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx．归纳：求回归方程的步骤：ˆˆˆybxa（1）计算x，y，1niiixy，21niix；（2）代入公式求ˆb，ˆa；（3）写出回归直线方程ˆˆˆybxa．1、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为万元.3.5,42,xy9.1aybx回归方程为：9.49.1yx解：65.5【典例剖析】2、某研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据x681012y2356（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：1221ˆniiiniixynxybxnx，ˆˆaybx）解：（1）散点图如图示：（2）由题意得：9,4xy42222212341344iixxxxx4112233441158iiixyxyxyxyxy0.7,2.3baybx回归方程为：0.72.3yx（3）由回归方程预测，0.732.34y即记忆力为9的同学的判断力约为4．利用计算机，可以方便的求出回归方程.（1）散点图：（2）正相关、负相关：（3）线性相关关系：（4）回归方程的系数公式：1122211()()ˆ,()ˆˆ.nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy【知识归纳】1、知识：（1）最小二乘法：（2）转化与化归;数形结合;2、思想方法：【作业布置】课本94页A3、B1；