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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题�每小题3分�共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的�请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A�B�R(实数集)�如果A到B的映射��x→x�2��x∈R�则�是从A到B的��A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素�集合B中含有2个元素�那么�A与B的积集合A×B中含有��个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b�ya=b�a,b∈G都有解�这个解是��乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群�子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数��A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的��A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题�每空3分�共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合��1,0,1��A���2,1�B�则有��AB---------。2、若有元素e∈R使每a∈A�都有ae=ea=a�则e称为环R的--------。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换�则称R是一个------。4、偶数环是---------的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。6、每一个有限群都有与一个置换群--------。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群�则这个群的单位元是---�元a的逆元是-------。8、设I和S是环R的理想且RSI���如果I是R的最大理想�那么---------。9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题�本大题共3小题�每小题10分�共30分�1、设置换�和�分别为��������6417352812345678���������2318765412345678��判断�和�的奇偶性�并把�和�写成对换的乘积。2、证明�任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合)1}(,1,,2,1,0{�mmmMm�����定义mM中运算“m�”为am�b=(a+b)(modm),则�mM�m��是不是群�为什么�四、证明题�本大题共2小题�第1题10分�第2小题15分�共25分�1、设G是群。证明�如果对任意的Gx��有ex�2�则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环�F是一个包含R的域�那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题�每小题3分�共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的�请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群�a是生成元�则G的子集��是子群。A、��aB、��ea,C、��3,aeD、��3,,aae2、下面的代数系统�G�*�中���不是群A、G为整数集合�*为加法B、G为偶数集合�*为加法C、G为有理数集合�*为加法D、G为有理数集合�*为乘法3、在自然数集N上�下列哪种运算是可结合的���A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设1�、2�、3�是三个置换�其中1�=�12��23��13��2�=�24��14��3�=�1324��则3�=��A、12�B、1�2�C、22�D、2�1�5、任意一个具有2个或以上元的半群�它��。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题�每空3分�共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说�任一个子群都同一个----------同构。2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50�则4a的阶等于------。4、a的阶若是一个有限整数n�那么G与-------同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射�既是单射又是满射�则称�为-----------------。7、�叫做域F的一个代数元�如果存在F的-----naaa,,,10�使得010����nnaaa���。8、a是代数系统)0,(A的元素�对任何Ax�均成立xax���则称a为---------。9、有限群的另一定义�一个有乘法的有限非空集合G作成一个群�如果满足G对于乘法封闭�结合律成立、---------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群�则P是----------。三、解答题�本大题共3小题�每小题10分�共30分�1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群�H是G的子群�H={I,(12)}�写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合�“�”是数的乘法�则“�”是E中的运算��E���是一个代数系统�问�E���是不是群�为什么�3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题�本大题共2小题�第1题10分�第2小题15分�共25分�1、若G�*是群�则对于任意的a、b∈G�必有惟一的x∈G使得a*x�b。2、设m是一个正整数�利用m定义整数集Z上的二元关系�a〜b当且仅当m�a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题�每小题3分�共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的�请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是��。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群�G有��个元素�则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于��。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格��A、�N,��B、�Z,��C、�{2,3,4,6,12},|�整除关系��D、(P(A),�)5、设S3�{(1)�(12)�(13)�(23)�(123)�(132)}�那么�在S3中可以与(123)交换的所有元素有��A、(1)�(123)�(132)B、12)�(13)�(23)C、(1)�(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题�每空3分�共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的�每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射�a是A的一个元�则������aff1----------。3、区间[1�2]上的运算},{minbaba��的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点�每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群G中元素a的阶为m�如果ean��那么m与n存在整除关系为--------。三、解答题�本大题共3小题�每小题10分�共30分�1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链�问可做出多少种不同的项链�2、S1�S2是A的子环�则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗�3、设有置换)1245)(1345(���6)456)(234(S���。1�求��和���1�2�确定置换��和���1的奇偶性。四、证明题�本大题共2小题�第1题10分�第2小题15分�共25分�1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群�证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题�每小题3分�共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的�请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素�集合B中含有2个元素�那么�A与B的积集合A×B中含有��个元素。A.2B.5C.7D.102.设A�B�R(实数集)�如果A到B的映射��x→x�2��x∈R�则�是从A到B的��A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3�{(1)�(12)�(13)�(23)�(123)�(132)}�那么�在S3中可以与(123)交换的所有元素有��A.(1)�(123)�(132)B.(12)�(13)�(23)C.(1)�(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群�那么�Z15的子群共有��个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是��A.整系数多项式全体Z�x�关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“�”��m�n∈Z�m�n�0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“�”��m�n∈Z�m�n�1二、填空题(本大题共10小题�每空3分�共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“�”是集合A的一个关系�如果“�”满足___________�则称“�”是A的一个等价关系。7.设(G�·)是一个群�那么�对于�a�b∈G�则ab∈G也是G中的可逆元�而且(ab)�1�___________。8.设σ�(23)(35)�τ�(1243)(235)∈S5�那么στ�___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群�那么�根据Lagrange定理知�对于�a∈G�则元素a的阶只可能是___________。10.在3次对称群S3中�设H�{(1)�(123)�(132)}是S3的一个不变子群�则商群G/H中的元素(12)H�___________。11.设Z6�{�0���1���2���3���4���5�}是以6为模的剩余类环�则Z6中的所有零因子是___________。12.设R是一个无零因子的环�其特征n是一个有限数�那么�n是___________。13.设Z�x�是整系数多项式环�(x)是由多项式x生成的主理想�则(x)�________________________。14.设高斯整数环Z�i��{a�bi|a�b∈Z}�其中i2��1�则Z�i�中的所有单位是______________________。15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。三、解答题�本大题共3小题�每小题10分�共30分�16.设Z为整数加群�Zm为以m为模的剩余类加群��是Z到Zm的一个映射�其中��k→�k���k∈Z�验证��是Z到Zm的一个同态满射�并求�的同态核Ker�。17.求以6为模的剩余类环Z6�{�0���1���2���3���4���5�}的所有子环�并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系�并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题�本大题共3小题�第19、20小题各10分�第21小题5分�共25分�19.设G�{a�b�c}�G的代数运算“�”由右边的运算表给出�证明�(G��)作成一个群。20.设,Zc,a0c0aI,Zd,c,b,adcbaR��������������������������������已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明�I是R的一个子环�但不是理想。21.设(R���·)是一个环�如果(R��)是一个循环群�证明�R是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。�abcaabcbbcaccab1、C�2、D�3、B�4、C�5、D�二、填空题(本大题共10小题�每空3分�共30分)。1、��������������1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1���2、单位元�3、交换环�4、整数环�5
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