第二节二维连续随机变量案例

第二讲二维连续型随机变量一二维连续型随机变量定义二二维均匀分布，二维正态分布三边缘分布四条件分布五随机变量的独立性四随机向量函数的分布yxdudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，f(x,y)称为X和Y的联合概率密度一、二维连续型随机变量P61对于二维随机变量(X,Y)，如果存在f(x,y)≥0使得对于任意的x，y（1）定义yx(x,y)（2)概率密度的性质：P62;0),(10yxf;1),(),(20Fdxdyyxf40设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(}),{(分布函数与密度函数的关系式！).,(),(2yxfyxyxF30在f(x,y)连续点处其它00,0),(43yxceyxfyx例1随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数(3）P{0X1,0Y2}(4)P{X+Y}1解1),(dxdyyxfyx00431dxdyceyx10403dyedxecyx112c12c(1)求c其它00,0),(43yxceyxfyx例1随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数(3）P{0X1,0Y0}(4)P{X+Y}1解yx(2)求联合分布函数当x0或y0时F(x,y)=0当x0且y0时yxxydxdyyxfyxF),(),(xyyxdxdyce0043)1)(1(43yxee其它，00011),(43yxeeyxFyx(x,y)(x,y)其它00,0),(43yxceyxfyx例1随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数(3）P{0X1,0Y2}(4)P{X+Y}1解yx(3)P{0X1,0Y2}1210204312dxdyeyx)1)(1(83ee其它00,0),(43yxceyxfyx例1随机向量的概率密度（1）求c=?(2)(X,Y)的联合分布函数(3）P{0X1,0Y2}(4)P{X+Y}1解yx(4)P{X+Y}1}1{1YXP101043121xyxdyedx11xy14334ee其它00,02),(2yxeyxfyx练习P62随机向量的概率密度（1）求(X,Y)的联合分布函数(2）P{YX}解解yx(1)求联合分布函数当x0或y0时F(x,y)=0当x0且y0时yxxydxdyyxfyxF),(),(xyyxdxdye0022)1)(1(2xyee其它，00011),(2yxeeyxFyx(x,y)(x,y)其它00,02),(2yxeyxfyx练习P62随机向量的概率密度（1）求(X,Y)的联合分布函数(2）P{YX}解解yx(2)求P{YX}}P{XY00)2(2dxdyexyxxy032)22(dxeexx0)32-32xxee31其它042,20)6(),(yxyxkyxf练习2随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X1,Y3}(3)P{X1.5}(4）P{X+Y4}解yx20241),(dxdyyxf1)5(2042dxdyyxk81k(1)求k其它042,20)6(),(yxyxkyxf练习2随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X1,Y3}(3)P{X1.5}(4）P{X+Y4}解yx2024(2）P{X1,Y3}8313dxdyyx1032)5(81其它042,20)6(),(yxyxkyxf练习2随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X1,Y3}(3)P{X1.5}(4）P{X+Y4}解yx2024(3)P{X1.5}32271.5dxdyyx5.1042)5(81其它042,20)6(),(yxyxkyxf练习2随机向量的概率密度(1)求k(2）P{X1,Y3}(3)P{X1.5}(4）P{X+Y4}解yx2024(4）P{X+Y4}321.5dxdyyx204x-2)5(814xyDxy1二维均匀分布P72（1）定义设D为平面上的区域如果（X，Y）的密度函数为称（X，Y）服从D上的均匀分布(2)二维均匀分布几何意义随机点（X，Y）落在D1内的概率：1DDDSSDYXP1}},{(1其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxf二常见的二维随机变量22222121212122121221121),(yyxrxreryxfrNYX222121~，，，，,210，ii.11r2二维正态分布P65如果（X，Y）的密度函数为r222121，，，则称（X，Y）服从参数为的正态分布记为：其中：1随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布三连续随机向量的边缘分布P63，642随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)与分量X(或Y)的分布函数FX(x),FY(y)的关系}{)(xXPxFX}{yxXP，)(，xF同理)(yFY),(yF)(xFX)(，xF)(yFY),(yF例1(X，Y)分布函数为其余，01,0110,0)1()(yxeyxyeyxFxx求（1）边缘分布函数（2）边缘密度函数解)(xFX)(limyxFy，0x00xxe1)(xfX)(xFX0x00xxe)(yFY)(limyxFx，0y010yy1y1)(yfY)(yFY10y01其余01yex)1(xe1xy3已知联合密度函数求边缘密度函数P64(X,Y)联合概率密度为f(x,y)}{)(xXPxFXxdudyyuf]),([xxy)(xfXdyyxf),(}{)(yYPyFYydvdxvxf]),([xyy)(yfY)(yFYdxyxf),()(xFXyoy=xy=x21D例1如图，区域D为y=x2与y=x围成，如果（X，Y）为D上的均匀分布，求（1）联合密度函数，（2）边缘分布函数解10221dxxA61),(yxfDyx),(6Dyx),(0)(xfXdyyxf),(]1,0[x0xxdy26]1,0[x]1,0[x0266xx]1,0[x)(yfYdxyxf),(]1,0[y0yydx6]1,0[y]1,0[y0yy66]1,0[yP65yoy=xy=x21D例2如图，区域D为y=x2与y=x围成，如果（X，Y）为D上的均匀分布，求（1）联合密度函数，（2）边缘分布函数解10221dxxA61),(yxfDyx),(6Dyx),(0)(xfXdyyxf),(]1,0[x0xxdy26]1,0[x]1,0[x0266xx]1,0[x)(yfYdxyxf),(]1,0[y0yydx6]1,0[y]1,0[y0yy66]1,0[yP65练习设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X和关于Y的边缘概率密度.x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(例3（X，Y）的联合密度函数为解其余00),(yxcxeyxfyxyxy1),(dxdyyxf01dxdycxexy(1)求cx1c求（1）常数c(2）边缘分布函数例3（X，Y）的联合密度函数为解其余00),(yxcxeyxfyxyxy(2)边缘分布函数x求（1）常数c(2）边缘分布函数)(xfXdyyxf),(0x0xydyxe0x0x0xxe0x)(yfYdxyxf),(0y0yydxxe00y0y0yey2210yyrNYX222121~，，，，定理则),(~211NX),(~222NY二维正态分布的边缘分布为正态分布注意1222121~rNYX，，，，与2222121~rNYX，，，，有相同的边缘分布边缘分布相同二维正态分布不一定相同P66四、条件分布函数P69设(X,Y)是二维连续型随机变量0}{yYP}|{yYxXP无意义但我们可以通过取极限的方式得到如下结论)(),()|(|yfyxfyxfYYX.YXXfxyfyxfx，在Y=y的条件下X的密度函数为在X=y的条件下Y的密度函数为1定义y为常数x为常数0)|(|yxfYX2条件密度函数的性质性质1性质21)|(|dxyxfYX条件密度函数是概率密度函数例4设(X,Y)的概率密度为.,0,10,||,1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（}.0|21{)3(YXP解xy01xyxydyyxfxfX),()()1(,10xxxxdy20)|(),|()2(||xyfyxfXYYX求x2其余dxyxfyfY),()()2(01yydxy11y110yydxy11y1其余01||y||1y其余0例4设(X,Y)的概率密度为.,0,10,||,1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（}.0|21{)3(YXP解xy01xyxy)()1(xfX,10x0)|(),|()2(||xyfyxfXYYX求x2其余)()2(yfY1||y||1y其余0)2(1||y时)|(|yxfYX1||xy||11y其余0y为常数))(yfyxfY（，例4设(X,Y)的概率密度为.,0,10,||,1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（}.0|21{)3(YXP解xy01xyxy)()1(xfX,10x0)|(),|()2(||xyfyxfXYYX求x2其余)()2(yfY1||y||1y其余0)2(10x时)|(|xyfXYxyxx21其余0x为常数))(xfyxfX（，例4设(X,Y)的概率密度为.,0,10,||,1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（}.0|21{)3(YXP解)|(),|()2(||xyfyxfXYYX求}0|21{)3(YXP}0{}0,21{YPYXPxy01xy211121221)211(43rNYX222121~，，，，定理则)(|yYX22122111~ryrN