李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第七章

第七章二阶电路分析由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。本章目录7-2RLC串联电路的零输入响应7-3RLC串联电路的全响应7-4GLC并联电路的分析7-1LC电路中的正弦振荡第七章二阶电路分析1.通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。2.通过例子得出二阶电路的一般规律。二阶电路的的几种状态及其响应特点重点掌握学习方法第七章二阶电路分析7-1LC电路中的正弦振荡7-1LC电路中的正弦振荡uciL电路方程：cLLcudtdiLidtduC设uc(0)=1,iL(0)=0，C=1F，L=1H解得：)sin()()cos()(ttittuLc能量：21)(cos21)(sin21)(21)(21)(2222tttCutLitw21)0(21)0(21)0(22CuLiwRLC串联电路的微分方程RLC串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)(dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi为了得到图所示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程7-2RLC串联电路的零输入响应根据前述方程得到以下微分方程2CCCS2dd()dduuLCRCuuttt这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。2CCC2dd0dduuLCRCutt其特征方程为210LCsRCs其特征根为212122RRsLLLC，零输入响应方程为7-2RLC串联电路的零输入响应★P248电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况CLR221,ss1.时，为不相等的实根。过阻尼情况。3.时，为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR221,ss2.时，为两个相等的实根。临界阻尼情况。21,ssCLR27-2RLC串联电路的零输入响应过阻尼情况当时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式CLR212C12()eeststutKK式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0)确定。C12(0)uKKCL01122d()(0)dtutiKsKstC7-2RLC串联电路的零输入响应★P248求解以上两个方程，可以得到CiusssKCiusssK)0()0(1)0()0(1LC1212LC2121－＝－＝由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。7-2RLC串联电路的零输入响应例1电路如图所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输入响应。42138331222221LCLRLRs，解：由R，L，C，计算固有频率图RLC串联二阶电路7-2RLC串联电路的零输入响应将固有频率s1=-2和s2=-4代入式得到)0(ee)(4221CtKKtutt利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：4)0(42d)(d2)0(L210C21CCiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt最后得到电容电压的零输入响应为7-2RLC串联电路的零输入响应利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应)0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。7-2RLC串联电路的零输入响应临界阻尼情况当时，电路的固有频率s1,s2为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式CLR2C12()eeststutKKt式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0)确定。令t=0，得到C1(0)uK7-2RLC串联电路的零输入响应★P250联立求解以上两个方程，可以得到)0()0()0(C1L2C1usCiKuK由K1,K2的计算结果，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。求导，再令t=0，得到CL012d()(0)dtutiKsKtC7-2RLC串联电路的零输入响应P250例7-2电路如图所示。已知已知R=1，L=0.25H，C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。22024221222221LCLRLRs，解：由R，L，C，计算出固有频率的数值图RLC串联二阶电路7-2RLC串联电路的零输入响应利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程0)0(2d)(d1)0(L210C1CCiKKttuKut将两个相等的固有频率s1=s2=-2代入，得到)0(ee)(2221cttKKtutt7-2RLC串联电路的零输入响应得到电感电流的零输入响应CLC2222d()()d2e2e4e4eA(0)ttttuititCtttt求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应)0(V)e2e()(22Ctttutt7-2RLC串联电路的零输入响应根据以上两个表达式画出的波形曲线，如图所示。(a)电容电压的波形(b)电感电流的波形临界阻尼情况)0(Ae4)()()0(V)e2e()(2CL22Ctttititttuttt7-2RLC串联电路的零输入响应欠阻尼情况当时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数根，它们可以表示为CLR2d220221jj122LCLRLRs，其中称为衰减谐振角频率称为谐振角频率称为衰减系数220d012LCLR7-2RLC串联电路的零输入响应★P252齐次微分方程的解答具有下面的形式C1d2dd()e[cos()sin()]ecos()ttutKtKtKt式中122221arctanKKKKK由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。7-2RLC串联电路的零输入响应★P252例3电路如图所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。j4353312222221LCLRLRs，解：由R，L，C，计算出固有频率的数值RLC串联二阶电路7-2RLC串联电路的零输入响应利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程7)0(43d)(d)0(L210C1CCiKKttuKut求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:)0(A)74.734cos(e)]4sin(24)4cos(7[e04.0dd)()0(V)1.534cos(e5)]4sin(44cos3[e)(33cL33ctttttuCtitttttutttt将两个不相等的固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4代入得)0(])4sin(4cos[e)(213CttKtKtut(a)衰减系数为3的电容电压的波形(b)衰减系数为3的电感电流的波形(c)衰减系数为0.5的电容电压的波形(d)衰减系数为0.5的电感电流的波形图欠阻尼情况画出的波形曲线，如图(a)和(b)所示可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时，得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。7-2RLC串联电路的零输入响应例4电路如图所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。j551222221LCLRLRs，解：由R，L，C计算出固有频率的数值图RLC串联二阶电路7-2RLC串联电路的零输入响应将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入得到)0()]5sin()5cos([)(21cttKtKtu利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程7)0(5d)(d3)0(L20C1CCiKttuKut求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=1.4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:)0(A)655cos(66.0)]5cos(7)5sin(15[04.0dd)()0(V)255cos(31.3)]5sin(4.1)5cos(3[)(CLCtttttuCtitttttu画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图所示。图无阻尼情况7-2RLC串联电路的零输入响应从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。7-2RLC串联电路的零输入响应RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关由图可见：1.在过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d越大，振荡周期越小，振荡越快。7-2RLC串联电路的零输入响应图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。7-2RLC串联电路的零输入响应求RLC串联电路的零输入响应的步骤1、求固有频率2、根据固有频率判断属于哪种阻尼3、求出uc(0)和iL(0)，根据uc(0)和uc’(0)=iL(0)/C可求出系数k1和k2LCLRLRs122221，★习题已知RLC串联电路中R=6,L=1H,C=0.2F，uC(0+)=4V,iL(0+)=3.2A。求t≥0时电容电压的零输入响应。解：固有频率235331222221LCLRLRs，响应为过阻尼,可以得到0)(521tkktutteeC利用初始值uC(0+)=4和iL(0+)=3.2,得:解得：K1＝9和K2＝-5，得到电容电压的零输入响应16)0(5)(4)0(21021CiKKttuKKutLCCdd09)(5