2013高考数学一轮复习课件-三角函数的图像和性质(精)

12[备考方向要明了]考什么1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在－π2，π2上的性质.3怎么考三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化化归等思想方法.45正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RR{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}6函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域单调性上递增，k∈Z；上递减，k∈Z上递增，k∈Z；上递减，k∈Z上递增，k∈Z{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R[－π2＋2kπ，π2＋2kπ][π2＋2kπ，3π2＋2kπ][(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π](－π2＋kπ，π2＋kπ)在在在在在7函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝时，ymax＝1(k∈Z)；x＝时，ymin＝－1(k∈Z)x＝时，ymax＝1(k∈Z)；x＝时ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性π2＋2kπ时－π2＋2kπ时2kππ＋2kπ奇偶奇8函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心对称轴l：周期性(k，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无2π2ππ9101．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A.x|x≠π4，x∈RB.x|x≠－π4，x∈RC.x|x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈RD.x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R11答案：D解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋34π，k∈Z.122．函数f(x)＝2cosx＋5π2是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数答案：A解析：因为f(x)＝2cosx＋π2＝－2sinx是奇函数，T＝2π.133．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π答案：C解析：作出函数y＝|sinx|的图象．观察可知，函数y＝|sinx|在π，3π2上递增．14解析：因为y＝sinx在－π2，0上为增函数且－π18－π10，故sin－π18sin－π10.4．比较大小，sin－π18________sin－π10.答案：15解析：当cosx＋π4＝－1时，函数y＝2－3cosx＋π4取得最大值5，此时x＋π4＝π＋2kπ，从而x＝34π＋2kπ，k∈Z.5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4的最大值为________．此时x＝________.答案：534π＋2kπ，k∈Z16171．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两种形式的单调增区间不同；(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.182．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．1920[精析考题][例1](2012·珠海模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．21[自主解答]要使函数有意义，必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.解得π6＋2kπx56π＋2kπ，π3＋2kπ≤x≤53π＋2kπ(k∈Z)，22∴π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)．[答案]π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)23[例2](2010·江西高考)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54]24[自主解答]令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝t＋122－54，t∈[－1,1]，∴y∈－54，1.[答案]C25若本例中函数变为“y＝2cos2x＋5sinx－4”试求值域．26解：y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sinx－542＋98.∴当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1]．27[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·苏州模拟)函数y＝sinx＋16－x2的定义域为________．答案：[－4，－π]∪[0，π]解析：由已知得sinx≥016－x2≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z－4≤x≤4.如图：∴所求定义域为[－4，－π]∪[0，π]．282．(2011·湛江模拟)函数y＝2sin2x＋π3－π6xπ6的值域为________．解析：∵－π6xπ6，∴02x＋π32π3.∴0sin2x＋π3≤1.∴y＝2sin2x＋π3的值域为(0,2]．答案：(0,2]29[冲关锦囊]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．302．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.31[精析考题][例3](2011·新课标全国卷)设函数f(x)＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4，则()A．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图像关于直线x＝π4对称B．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图像关于直线x＝π2对称C．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图像关于直线x＝π4对称D．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图像关于直线x＝π2对称32[自主解答]因为y＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以y＝2cos2x，在0，π2单调递减，对称轴为2x＝kπ，即x＝kπ2(k∈Z)．[答案]D33[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·桂林模拟)若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x＜π2，则f(x)的最大、最小值分别为()A.2和1B．2和1C．2和2D．2和334解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sinx＋π4.∵0≤x＜π2，∴π4≤x＋π4＜3π4.∴1≤f(x)≤2.答案：A354．(2012·宁德质检)函数y＝tanπ3－x的单调递减区间为________．36解析：把函数y＝tanπ3－2x变为y＝－tan2x－π3.由kπ－π22x－π3kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π62xkπ＋56π，k∈Z.∴kπ2－π12xkπ2＋512π，k∈Z.∴函数y＝tanπ3－2x的单调递减区间为kπ2－π12，kπ2＋512π(k∈Z)．答案：kπ－π6，kπ＋56π(k∈Z)375．(2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sinπ3－2x，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．38解：由y＝sinπ3－2x可化为y＝－sin2x－π3.(1)周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.39所以x∈R时，y＝sinπ3－2x的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.从而x∈[－π，0]时，y＝sinπ3－2x的减区间为－π，－7π12，－π12，0.40[冲关锦囊]求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调递增(减)区间，可以通过解不等式的方法去解决，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω0)”视为一个“整体”；②当A0时，ωx＋φ属于与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调递增(减)区间．当A0时，ωx＋φ属于y＝sinx，y＝cosx的单调递减(增)区间.41[精析考题][例4](2010·湖北高考)函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π42[自主解答]依题意得函数f(x)的最小正周期是2π12＝4π.[答案]D43[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)6．(2010·重庆高考)下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π244解析：对于选项A，注意到y＝sin2x＋π2＝cos2x的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数．答案：A457．(2012·聊城模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段相等．已知函数f(x)＝tan(ωx＋π3)(ω0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2012相交于A，B两点，且|AB|＝3π，则f(π)＝()A．2＋3B．－3C.3D.3－246解析：设f(x)＝tan(ωx＋π3)与x轴的两个交点为C、D，由“平行曲线”的性质可知|CD|＝3π，所以函数f(x)的最小正周期为3π，由πω＝3π可得ω＝13，则f(π)＝tan(π3＋π3)＝tan2π3＝－3.答案：B47[冲关锦囊](1)判断函数的奇偶性，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而确定其奇偶性．48(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图像．4950答题模板三角函数的图像和性质题目规范解答51[考题范例](12分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．52[步步满分](1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，(5分)所以f(x)的最小正周期为π.(6分)53(2)因为－π6≤x≤π4，所