西北工业大学《概率论与数理统计》2.3.1-随机变量的函数及其分布

下下回回停停二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布第三节随机变量的函数及其分布(1)第三节随机变量的函数及其分布(1)(单个随机变量的函数的分布)一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知圆柱截面直径d的分布.4π2的分布求截面面积dA=已知t=t0时刻噪声电压V的分布t0t0求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论.如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Y=f(X)的分布？二、离散型随机变量的函数的分布二、离散型随机变量的函数的分布问题设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=f(X).例1例1设离散型随机变量X的分布律213161303−XP求Y=X-1的分布律.解Y的可能取值为－4，－1，2.61}3{}4{=−==−=XPYP31}0{}1{===−=XPYP21}3{}2{====XPYP故Y的分布律为213161214−−YP由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布律XkpLLkxxx21LLkppp21.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxf)(XfY=kpLL)()()(kxfxfxf21LLkppp21)(XfYX=函数是离散型随机变量，其如果的分布律为若也是离散型随机变量，X的分布律为则)(XfY=例2例2Xkp211−616263设解Xkp211−61626352−=XY4−4−1−+Y的分布律为Yp4−1−2121.52的分布律求−=XY三、连续型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布的概率密度为设随机变量X⎩⎨⎧=.,0,40,)(8其它xxpxX,是连续型随机变量设X)(XfY=1.分布函数法)(:yFY先求).()(:yFypYY′=再求例3.82的概率密度求随机变量+=XY下面给出两种方法来求Y的概率密度函数1º先求Y=2X+8的分布函数).(yFY}{)(yYPyFY≤=}82{yXP≤+=解xxpyXd)(28∫−∞−=}28{−≤=yXP)()(yFypYY′=2º由分布函数求概率密度.]d)([28′=∫−∞−xxpyX′−−=)28)(28(yypX21)28(⋅−=ypX⎪⎩⎪⎨⎧−⋅−=.,0,4280,21)28(81其它yy21)28()(⋅−=∴ypypXY⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,40,8)(其它xxxpX⎪⎩⎪⎨⎧−=.,0,168,328其它yy的定义域，是的反函数是其中)(),(,)()(11yfxfyf−−βα定理(例2.18)2.公式法⎩⎨⎧′′−′′=′−−−.0)(,])([,0)(,])([])([111时当时当xfyfxfyfyf),(xpXX具有概率密度设随机变量）上可导，在（又设函数其中baxfx,)(.+∞∞−是连则或恒有且恒有)(),0)((0)(XfYxfxf=′′密度为续型随机变量，其概率⎩⎨⎧′⋅=−−.,0,,])([)]([)(11其它βαyyfyfpypXY证,0)(′xf若单调增加，且其反函数则)(xfy=.),()(1上单调增加在βαyfx−=时，当α≤y;0}{)(=≤=yYPyFY时，当β≥y;1}{)(=≤=yYPyFY.0d)(d)(==∴yyFypYY时，当βαy}{)(yYPyFY≤=}{}{yYPYP≤+≤−∞=αα}{)(yYPyFY≤=}{0yYP≤+=α于是)}({1yfXP−≤=∫−∞−=)(1d)(yfXxxp)(}{)(βα≤=yyYPyFY∫−∞−=)(1d)()(yfXYxxpyF)(βαyyyFypYYd)(d)(=ydd=]d)([)(1∫−∞−yfXxxp])([)]([11′⋅=−−yfyfpX.0)(的情形可作类似的证明对于′xf时，当βα∴y证X的概率密度为.,eπ21)(222)(∞−∞=−−xσxpσµxX,)(baxxfy+==设,)(1abyyfx−==−得.01])([1≠=′−ayf知例4例4的线性函数试证明设随机变量XNX),,(~2σµ也服从正态分布)0(≠+=abaXY222)(eπ211σµabyσa−−−=.,eπ2122)(2)]([+∞∞−=+−−yσaaσaµby.),(1)(+∞−∞−−=abyabypaypXY的概率密度为得baXY+=))(,(~2aσbaµNbaXY++=得])([)]([)(11′⋅=−−yfyfpypXY由公式.e),1,0(~的分布密度求设XYUX=解)1,0(~UXQ的分布密度为X∴⎩⎨⎧∉∈=).1,0(,0),1,0(,1)(xxxpX方法1(公式法)上可导，单调增加在),(e+∞−∞=xyQ,ln)(1yyfx==−yyf1])([1=′−例5例5=∴)(ypY⎩⎨⎧+∞′⋅−−.0,0,])([)]([11其他，yyfyfpX⎩⎨⎧′⋅=−−.,0,1)(0,])([111其他yfyf⎪⎩⎪⎨⎧⋅=.,0,1ln0,11其他yy⎪⎩⎪⎨⎧=.,0e,1,1其他yy方法2(分布函数法)}{)(yYPyFY≤=}{eyPX≤=⎩⎨⎧≤≤∅=.0},ln{,0),(yyXPyP⎪⎩⎪⎨⎧≤=∫∞−.0,d)(,0,0lnyxxpyyX∫∞−yXxxpylnd)(0时，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=∫∫∞−∞−.1ln,d)(,1ln0,d)(,0ln,01lnyxxpyxxpyXyX⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=∫∫.1ln,d)(,1ln0,d)(,0ln,010ln0yxxpyxxpyXyX⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=∫∫.1ln,d1,1ln0,d1,0ln,010ln0yxyxyy⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=.e,1e,1,ln,1,0yyyy=∴)(yFY⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤.e,1e,1,ln,10,0,0,0yyyyyyyFypYYd)(d)(=从而⎪⎩⎪⎨⎧=.,0e,1,1其他yy⎩⎨⎧=.,0,10,1)(其他xxpX）上为严增函数其，在区间（因为104/π)(2xxgy==解例6例6求圆的面积的密度函数.密度函数为所以圆面反函数为,π/1)(,π/4)(yyhyyhx=′==的而，则圆的面积设圆的直径为XXYX,4/π2=的密度函数为积4/π2XY=设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,4/π0,π1其他yy⎩⎨⎧=.,0,4/π0|,π/1|)π/4()(其他yyypypXY：求下列函数的分布密度设),1,0(~NX;)1(2XY=分析内不单调，在),(2+∞−∞=xy处不可导，在0==xxy.故不能直接用定理解}{)()1(yYPyFY≤=}{2yXP≤=⎩⎨⎧≥≤∅=.0},{,0),(yyXPyP例7例7.)2(XY=⎩⎨⎧≥≤≤−=.0},{,0,0yyXyPy⎩⎨⎧−Φ−Φ≤=.0),()(,0,0yyyy⎩⎨⎧−Φ≤=.0,1)(2,0,0yyy=)(yFY即⎩⎨⎧−Φ≤.0,1)(2,0,0yyyyyFypYYd)(d)(=∴⎩⎨⎧′−Φ≤=.0,]1)(2[,0,0yyy⎪⎩⎪⎨⎧⋅Φ′≤=.0,21)(2,0,0yyyy⎪⎩⎪⎨⎧≤=.0),(1,0,0yyyyϕ⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤=−.0,eπ211,0,02)(2yyyy⎪⎩⎪⎨⎧≤=−.0,eπ21,0,02yyyy=)(ypY即⎪⎩⎪⎨⎧≤−.0,eπ21,0,02yyyy}{yXP≤=⎩⎨⎧≥≤≤−∅=.0},{,0),(yyXyPyP⎩⎨⎧≥−Φ=.0,1)(2,0,0yyyyyFypYYd)(d)(=∴⎩⎨⎧Φ′≤=.0),(2,0,0yyy⎩⎨⎧≥=.0),(2,0,0yyyϕ⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤=−.0,eπ212,0,022yyy}{)()2(yYPyFY≤=是严格分布函数设随机变量)(xFX证是分布函数)(xFQ单调不减且)(,1)(0xFxF≤≤∴严格单调增加又知依题意，)(xFR,∈∀y故}{)(yYPyFY≤=})({yXFP≤=例8例8]1,0[)(在证明：单调的连续函数，试XFY=.上服从均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤=−.1,1,10)},({,0,01yyyFXPy}{)(yYPyFY≤=})({yXFP≤=⎪⎩⎪⎨⎧Ω≤≤≤∅=.1),(,10},)({,0),(yPyyXFPyP⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−.1,1,10)],([,0,01yyyFFy⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.1,1,10,,0,0yyyy])([)(′=∴yFypYY⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y.]10[)(上的均匀分布，服从即XFY=1.离散型随机变量的函数的分布)(XfY=kpLL)()()(kxfxfxf21LLkppp21的分布律为则)(XfY=的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXfYX.)(,=内容小结内容小结XkpLLkxxx21LLkppp21.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxf2.连续型随机变量的函数的分布方法1.)()(d)(})({}{)()(的密度函数求导得到再对YyFxxxpyXfPyYPyFYyxfXY∞−∞=≤=≤=∫≤方法2⎩⎨⎧′=−−.,,,])([)]([)(其它011βαyyfyfpypXY注意条件.答：思考题思考题是离散型随机变量是连续函数，若设Xxf)(是连续？若也是离散型随机变量吗则XXfY)(=型的又怎样？的取值是有限个是离散型随机变量，它若X的取值也是有限个或可或可列无限多个，因此Y是是离散型随机变量，若列无限多个，因此XY.量不一定是连续型随机变连续型随机变量，那么Y⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,20,21)(其他xxp⎩⎨⎧≤≤≤==.21,1,10,)(xxxxfy又设连续函数:)()(可以计算出来的分布函数则yFXfYY=密度为上服从均匀分布，概率在设)2,0(X例如;0}{)(,0=≤=≤yYPyFyY时当;1}{)(,1=≤=yYPyFyY时当})({}{)(,10yXfPyYPyFyY≤=≤=≤≤时当.2d21d)(yxxxpyy===∫∫∞−∞−],1,0[的取值为由于Y所以,.1,110,2,0,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=yyyyYFYY的分布函数为故不是连续型随处间断，故在因为)(1)(XfYyyFY==)()(XfYyFY=不是阶梯函数，故机变量，又因为.也不是离散型随机变量解备用题例2-1备用题例2-1求圆周长Y1和圆面积Y2的分布列.分布列为的值均不相等,不需合并.各自和的函数，都是和21221ππ2YYXXYXY==为随机变量其分径测量一类圆形物体的半X13121110kPX2.03.04.01.02YkPπ169π144π121π1002.03.04.01.0kP1Yπ26π24π22π202.03.04.01.0所以Y1的分布列分Y2的分布列为解故可取值的函数是.5,3,10,),5,100(~2−XYNX)(Φ1}115{}5{5100115−−=+∞=−=XPYP,0013.0)3(Φ1=−=}115100{}3{≤==XPYP例2-2例2-2服从N(100,52)工程队规定:若工程在100天内完工可获奖金10万元;在100~115天内完工可获奖金3万元;超过115天完工,罚款5万元,求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布列.设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似)(Φ}100{}10{5100100−=≤==XPYP5000.0)0(=Φ=,4987.0)0(Φ)3(Φ=−=所以所获奖金Y的分布列为故从本例得知,连续型随机变量的函数也可以是Y离散型的.kP10