凸函数应用

本科毕业论文题目:凸函数的性质及其应用学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2008级数学七班姓名：李文霞指导教师：王凤艳职称：副教授完成日期：2012年5月20日凸函数的性质及其应用摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。而凸函数则是其中重要的一类,也是函数的基础.凸函数广泛应用于数学规划，控制论,数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等领域当中.函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值,证明不等式诸方面都有广泛的应用.本文主要是研究凸函数的重要性质与应用.给出了凸函数的若干种定义，并探究出它的性质，对性质作了一一证明，同时罗列出了凸函数的几种判定定理，最后研究凸函数在初等不等式、微分学、积分学、非线性规划问题中的应用.关键词：凸函数；Holder不等式；詹森不等式；严格凸；Hesse矩阵目录1引言...............................................................................................................................................12凸函数的若干种定义...................................................................................................................12.1凸函数的定义....................................................................................................................12.1.1凸函数的五种定义.................................................................................................12.1.2凸函数的几何意义.................................................................................................32.2常见的凸函数....................................................................................................................43凸函数的常见性质及其判定定理...............................................................................................43.1凸函数的性质....................................................................................................................44凸函数的应用..............................................................................................................................104.1凸函数在不等式中的应用...............................................................................................10参考文献.........................................................................................................................................1511引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen给出.凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小.本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用.现行高等数学教材中,也都对凸函数作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文对凸函数几种定义以及性质给以证明,并给出凸函数的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；研究凸函数在非线性规划中的应用等，对凸函数作了比较全面的概括总结.2凸函数的若干种定义2.1凸函数的定义2.1.1凸函数的五种定义定义1设()fx在区间I上有定义，对任意的两点1x，2x，总有1212()().22xxfxfxf则称()fx为I上的凸函数.若将上式中“≤”改成“”，则称()fx是严格凸函数.例如，函数2fxx对于其上的任意两点1x2x，总满足1212()().22xxfxfxf即曲线2fxx上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，所以它为凸函数.定义2设()fx在区间I上有定义，对12,,(0,1)xxI,总有1212[(1)]()(1)()fxxfxfx，则称()fx为I上的凸函数.若将上式中““≤”改成“”，则()fx是严格凸函数.2注意：定义2其实是定义1的更为一般的推广，两者实质一样.定义3设()fx在区间I上有定义,对2121,,,xxxIxxx有0)(1)(1)(12211xfxxfxxfx，则称()fx为I上的凸函数.若将上式中“≤”改成“”,则()fx是严格凸函数.分析：令1111212122212111111()1()()()1()0()()()()1()0()()xfxxfxxxfxfxxfxxxfxfxxxfxfxxfxxxfxfx即0)()()()()()(211212xfxxxfxxxfxx整理得)()()(21211122xfxxxxxfxxxxxf，因过曲线)(xfy上的点))(,(11xfx，))(,(22xfx的直线段的参数方程可表示为)]()([)()(212212xfxfxfyxxxx其中10，x为12(,)xx内任意一点，只需将122xxxx代入定义2中即可.从这个证明过程可得出：定义3和定义2是等价的.定义4设()fx在区间I上有定义,对1,2,...,nxxxI，总有1212......()()......().nnxxxfxfxfxfnn则称()fx为I上的凸函数.若将上式中“≤”改成“”则()fx是严格凸函数.分析：定义4是定义1的一般形式，两者是等价的.定义5设()fx在区间I上有定义，总有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf，3其中1.,,2,1,0,21niiqqqniqIx且，则称()fx为I上的凸则()fx是严格凸函数。若将上式中“≤”改成“”则()fx是严格凸函数.分析：这个定义其实就是本文在凸函数的应用中讲到的詹森不等式，下文会给出详细的证明，这里我们就不再重复了.这里给出了凸函数的五种定义，它还有一些等价形式，不再一一举例.总之万变不离其中，都可以有它最原始的定义推出.2.1.2凸函数的几何意义凸函数的几何意义就是:其函数上任意两点))(,(11xfxC，))((2,1xfxD之间弧段AB位于弦AB的下方.换句话说，也就是任意两点DC与之间的弧段位于曲线上任一点切线的下方.（如上图）例1证明2fxx在R上是严格凸函数﹒证明：事实上，对1212,,,0,1xxRxx且22222212112212122222221122222212222222221122121212112111111111fxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxox1xx24即函数2fxx在R上是严格凸函数﹒2.2常见的凸函数（1）)0()(kxxfk或)0(k,xxxfln)(均为(0,)内的严格凸函数.（2）22()ln(1),()(0)xfxefxcxc均为(,)内的严格凸函数.3凸函数的常见性质及其判定定理3.1凸函数的性质性质1设()fx为凸函数，0k为常数，则()kfx是凸函数.证明：设()fx是区间,ab上的凸函数，则对,ab，和对12,,xxab，1212(1)1fxxfxfx上式两端同乘以0kk,即得1212((1))()(1)()kfxxkfxkfx由凸函数的定义知kfx为凸函数.性质2几个凸函数之和仍是凸函数.证明：这里我们以两个函数的和为例.设,fxhx是区间,ab上的凸函数，所以对0,1，和对12,,xxab，有121211fxxfxfx121211hxxhxhx将两式相加得12121122(),()((1))((1))(()())(1)(()())fxhxfxxhxxfxhxfxhx5可以得fxhx是凸函数.同理，几个凸函数之和仍是凸函数.性质3若,fxhx是,ab上的非负单调递增的凸函数，则gxfxhx也是凸函数.证明：因为,fxhx是区间,ab上的凸函数，不妨设12xx，所以对0,1，和对12,,xxab，有212111fxxfxfx212111hxxhxhx又因为,fxhx在,ab上单调递增，所以1212()()()()0fxfxhxhx即12211122fxhxfxhxfxhxfxhx又因为,fxhx就非负，将上面两式相乘，可得2121(1)1fxxhxx222221121111hxfxfxhxfxhxfxgx所以由凸函数的定义知gxfxhx为凸函数.注意：并不是两个凸函数的乘积就一定是凸函数，它是有条件的1)两函数均非负；2）两函数均是单调递增的.性质4若)(uf是增凸函数，)(xu也是凸函数，则复合函数))((xf也是凸函数.证明：由于函数)(xu是凸函数，则对于任意的),(,),1,0(21baxxt有)()1()())1((2121xtxtxttx6因为)(uf是单调递增的，于是)]()1()([)])1(([2121xtxtfxttxf因为)(uf是凸函数，所以)()1()()]()1()([2121xftxtfxtxtf即)()1()()])1(([2121xftxtfxttxf所以函数))((xf也是凸函数.性质5若)(xf，)(xg为凸函数,则)}(),(max{)(xgxfxh亦为凸函数.证明：因为)(xf，)(xg是凸函数，