非线性物理分形02

2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程1.自然界有很多物质形态，象GoldBlack，coagulatedaerosols等等都是颗粒聚集呈现非常纤细的形态。2.这些聚集体的尺度看来比颗粒间交互作用力的特征尺度大的多。我们可以认为结构尺度与这些交互作用力没有什么关系。这些聚集体可以看成低密度结构。3.这些聚集体的空间相关函数与尺度都呈幂指数关系，其形成过程具有强烈的动力学特征。与此类似的平衡结构有Edengrowthmodel生长模型，randomanimals随机动物，self-avoidingwalk自规避行走和percolatingclusters渗流集团。前者是动力学结构，后者是平衡结构。4.颗粒再辉现象是明显的，即两个颗粒相互触碰时，就会形成聚集。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.先看看平衡结构2.Eden生长模型的要点是一个点阵中颗粒随机加在一个已存在颗粒的周边近邻位置上。3.这种生长是平衡的，产生的团簇cluster形态比较密实，具有不很严格的拓扑形态。4.右图就是一个在二维正方格点产生的Eden团簇。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.这一模型很简单，比较有意义的两个问题是：(1)是不是有严格的拓扑关系：分形维DH=2.0？(2)团簇周边形态或者说几何涨落有多大？与团簇回转半径有什么关系？RHDDRRR)r(N式中R为团簇以中心为原点定义的半径，R是团簇边缘形状相对于回转半径R的涨落，这里两个R有不同，后一个R是回转半径。2.后面会证明：在团簇足够大时，DH~2.0，DR~0.0。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.看看一个具有内部自由度的Eden模型，所谓magneticEdenmodel(MEM)。D=2时，模型将颗粒分成两类：向上spin和向下spin(i=1)，其哈密顿为：式中=1/kT、J是spin之间的交互作用、H是外场，i,j表示对最近临求和。这个模型事实上是磁学或者统计物理中的Ising模型，很有名。在此基础上加上了近平衡生长过程而已。2.当·J=0时，上述模型就回到了标准的Eden模型。它的内涵比Eden模型要丰富得多。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.MEM模型在一维情况下有严格解，那是统计物理的任务，我们这里就懒得麻烦了，后面看看基本结论。这里先看看二维情况。2.该模型二维模拟的基本步骤是：(1)构造一个二维正方点阵，在中心点设置一个颗粒=1。(2)在中心点四周四个最近临位置任选一个，然后假定加上一个=1或者=-1的颗粒，也是随机选择。(3)计算(E)=(E)after-(E)before，计算：0)E(ifpp0)E(if1p)E(expp2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型(4)这个颗粒是否稳定停留决定于概率p的大小，随机决定。(5)上述过程是MonteCarlo方法的基本步骤。3.上述模拟也可以沿另外一个路径进行：(2)对中心点四周四个最近临位置的每一个都进行上述步骤，即假定加上一个=1或者=-1的颗粒，随机选择。(3)计算(E)=(E)after-(E)before，计算：4321iiiip,p,p,pR)E(exp)E(expp这里R是随机数。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.MEM模型可以应用到磁学之外的很多系统：(1)spin可以是元素种类X和Y，这样可以应用到二元化学系统。因此spinup和spindown的比例可以外部定义。(2)材料中杂质与缺陷与晶格有很强的交互作用，可以研究材料中杂质或者缺陷效应。(3)Salmonella细菌细胞也呈现两态行为：其中一些基因可以被“开”和“关”。(4)外场项可以表示外磁场、外电场或者化学势、压力等等，只要互作用的形式是一样的就行。2.今天我们略去外场项，只是研究双态和交互作用行为。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.粗略一看，MEM在形态上与Eden标准模型没有什么不同：密实形态，但是因为内部存在spinup和spindown，其内部具有新自由度：内部团簇结构。2.J0意味着负的耦合效应，团簇内自旋趋向于反铁磁分布，虽然不是十分严格。3.J0意味着正的耦合效应，团簇内自旋趋向于铁磁分布，是十分严格的，决定于J的大小。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.在MEM生长过程中存在着spin之间的竞争，这在Eden模型中是没有的。2.有意思的问题是什么情况下一种spin会占主导地位而另一种自旋作用变弱或者消失？我们可以定义体系磁化强度来表征：所有正负spin的代数和，其中代表组态平均。JiiN1M2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.一维MEM模型的严格解见：M.Ausloos,N.Vandewalle,andR.Cloots,Europhys.Lett.24,629(1993).2.基本结论是存在一个临界(J)c，在(J)(J)c，体系的M=0。3.在(J)c处，体系发生一个相变，M0。体系的主导spin状态由第一个颗粒的spin来决定。4.这个(J)c与系统大小N有如下标度关系：Nln)J(c2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.二维MEM动力学比一位MEM有趣得多！^_^2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.随J不断增大的结果！^_^注意所谓granular特征。J更大将如何？如果我们强制两种自旋的比例不能变，一个spin被拒紧接着它再来，如何？2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型1.第一个有趣的模拟事实如下：(1)随着J的增加，存在一个所谓密实形态向分形形态再向颗粒状形态转变：compact-fractal-granulartransition，转变发生在(J)c处。(2)我们就spinup颗粒和spindown颗粒分别定义分形维：ffDDR~nR~n其中n+和n-分别是spinup和spindown颗粒的数目。计算时以中心点为原点测算。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型(3)上图是中心颗粒spinup的100次模拟平均结果，Df-具有很大的统计误差，与J的关系难以确定。当中心颗粒是spindown时，上面的结果刚好相反。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型(4)在J的很小和很大时，Df+均接近2.0，是欧基里德维度。(5)随J的增大，Df+的变化呈现一个V形，在J=(J)c=1.20.1时达到最小值(Df+)min=1.790.03。说明spinup的颗粒团簇是一个分形，而spindown的团簇不是。(6)在J0时，Df+和Df-都等于2.0，因为up和down都是均匀分布的，不存在聚集特征。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型Nln)J(c2.第二个有趣的事实：对应于(Df+)min的(J)c与体系大小N有对数关系，与一维情况一样。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型3.第三个有趣的模拟事实是表面形态：(1)所谓“缺顶”位置就是体系表面位置最近临的空位置数目，被体系颗粒总数目归一化：体系内平均每个spin的缺顶位数目l。(2)l与N的关系指数称为“缺顶”幂指数(lacunaritypowerlawexponent)，用来表示。clustersMEMfor1.000.56modelEdenfor01.056.0Nl1(3)在(J)c处我们观测到确定幂指数从0.56开始增大，在J=2(J)c处达到1.0。记住非常接近0.5。(4)具有关于J=0的对称性，在(J)c=-1.2处开始增大到1.0。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型(5)我们在Eden模型开始就提到，对于Eden模型，有：(6)DH=2.0已经证明。而DR=0.0尚未证明。事实上，我们有：RHDDRRR)r(N1221R~RR~N,RR~SN~SN/SlN~l这里S为体系表面全部缺顶位置的数目，R~S/2R为体系每个表面位置上面的缺顶位置数目。对Eden模型DR=0应是很好的近似。00.1D00.1MEM0.0~06.0D56.0elmodEdenRR2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型4.第四个有趣的模拟事实是磁化强度或者磁矩：(1)铁磁转变在(J)c处开始发生。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型5.更多有趣的行为可以作：(1)从相关函数的角度处理上述问题该是如何？(2)如果有微小外场作用，上述行为该如何？如果是交变外场有该是如何？NEW！！(3)在J与空间相关时上述性质仍然存在吗？New!(4)在什么情况下体系内部spin团簇会发生渗流？Percolation(5)如果存在表面扩散该是如何？第(2)(3)两个问题能否作为任选作业？希望回答Yeah！！2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－Eden模型6.关于randomanimals随机动物，self-avoidingwalk自规避行走和percolatingclusters渗流集团等都可以进行类似Eden模型的模拟分析，同学们自己找文献看看吧。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－DLA模型1.DLA模型是Eden模型的另一个变种，其主要差别是加进了动力学效应：颗粒不是随机加在已存在颗粒周围，而是通过从远处随机扩散来实现sticking，进而生长。2.具有随机扩散的动力学会变得十分不同！扩散拉普拉斯方程！3.我们关注的问题仍然是如下几个：(1)加入了动力学行为后形成的结构有什么特征？(2)宏观描述背后的微观机理是什么？(3)如何与非线性动力学联系起来？2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－DLA模型1.DLA模型基本步骤如下:(1)点阵原点存在一个颗粒；(2)第二个粒子从远处某个随机位置发出，空间进行随机行走，直到碰上一个已存在的颗粒，则此颗粒固定下来。(3)重复过程(1)和(2)。(4)如果颗粒碰上边界，此颗粒被舍弃。2.这种生长一个突出的特点是越是向外伸展的聚集体枝叉生长得越快，而那些内部的位置生长得越慢，即所谓“shadowed”效应，因此这样模拟的聚集体比Eden模型要开放。2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－DLA模型2020年2月26日PLDLab,LSSMS非线性物理：分形－生长过程－DLA模型相关性分析：•上图是一个典型的正方点阵模拟的DLAcluster，在三角点阵或者无规点阵里面一样。•结构分析手段之一是空