2015年第二轮复习 第20讲 基本初等函数的图象、性质及应用

函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，单调性的讨论与不等式的证明等综合问题．从考查题型来看，往年高考中既有1～3道小题，又有1～2道解答题．如2011年全国新课标、2011辽宁卷、2011安徽卷就命制了2道解答题，其它省市各命制1道解答题，且绝大多数试题处在把关题，压轴题的位置．涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等．从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势．函数的图象注重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)及基本初等函数图象的应用．对指数函数与对数函数的考查，大多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等．由于三次函数的导数是二次函数，因此，对于三次函数的问题应特别引起重视．不等式重点考查的有四种题型，即解不等式，特别是解含绝对值的不等式，证明不等式，不等式的应用，不等式的综合性问题，突出不等式的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值．不等式证明常与函数、数列、导数综合在一起，证明过程中的构造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点，其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫．此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函数的凸性问题也值得关注．第20讲基本初等函数的图象、性质及应用1．考题展望基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点，多以小题形式出现，有时也在实际应用问题或与导数、方程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考查，侧重考查函数单调性及综合应用．2．高考真题考题1(2012江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f(12)＝f(32)，则a＋3b的值为________．【解析】－10.∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f(－1)＝f(1)，即－a＋1＝b＋22①又∵f(32)＝f(－12)＝－12a＋1，f(12)＝b＋43，f(12)＝f(32)，∴－12a＋1＝b＋43②联立①②，解得，a＝2，b＝－4.∴a＋3b＝－10.【命题立意】本小题主要考查分段函数与周期函数等知识及运算求解能力．考题2(2012山东)函数y＝cos6x2x－2－x的图象大致为()【解析】选D.函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令y＝0得cos6x＝0，所以6x＝π2＋kπ，x＝π12＋k6π，函数零点有无穷多个，排除C，且y轴右侧第一个零点为(π12，0)，又函数y＝2x－2－x为增函数，当0＜x＜π12时，y＝2x－2－x＞0，cos6x＞0，所以函数y＝cos6x2x－2－x＞0，排除B，故选D.【命题立意】本小题主要考查函数的图象与性质及识图能力．y＝2x－2－x＞0，cos6x＞0，所以函数y＝cos6x2x－2－x＞0，排除B，故选D.【命题立意】本小题主要考查函数的图象与性质及识图能力．考题3(2012湖南)已知两条直线l1：y＝m和l2:y＝82m＋1(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，ba的最小值为()A．162B．82C．834D．434【解析】选B.在同一坐标系中作出y＝m，y＝82m＋1(m＞0)，y＝log2x图象如下图，由log2x＝m，得x1＝2－m，x2＝2m，log2x＝82m＋1，得x3＝2－82m＋1，x4＝282m＋1.依照题意得a＝2－m－2－82m＋1，b＝2m－282m＋1，∵m＋82m＋1＝m＋12＋4m＋12－12≥4－12＝312，∴(ba)min＝82.【命题立意】本小题主要考查对数函数的图象、图象变换和均值不等式等知识，考查运算求解能力和转化化归思想．∵m＋82m＋1＝m＋12＋4m＋12－12≥4－12＝312，∴(ba)min＝82.【命题立意】本小题主要考查对数函数的图象、图象变换和均值不等式等知识，考查运算求解能力和转化化归思想．1．函数的有关概念，函数的三要素．2．函数的图象、图象变换及应用．三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(1)平移变换函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象可以通过把函数y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；函数y＝f(x)＋b(b≠0)的图象可以通过把函数y＝f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．(2)伸缩变换函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．函数y＝f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0ω1)或缩短(ω1)成原来的，纵坐标不变而得到．(3)对称变换函数y＝－f(x)的图象可以通过作函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．函数y＝f(－x)的图象可以通过作函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．函数y＝－f(－x)的图象可以通过作函数y＝f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．函数y＝f(|x|)的图象可以通过作函数y＝f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．函数y＝|f(x)|的图象可以通过作函数y＝f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．(3)幂函数的图象及性质对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是直线(不包括点(0，1))．其他一般情况的图象如下表：幂函数的性质(ⅰ)当α＞0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图象都通过点(0，0)、(1，1)．②在第一象限内，函数值随x的增大而增大．③在第一象限内，α＞1时，图象是向下凸的；0＜α＜1时，图象是向上凸的．(ⅱ)当α＜0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图象都通过点(1，1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；4．函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．若f(x＋a)＝1f（x）(a≠0，且f(x)≠0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．若f(x＋a)＝1＋f（x）1－f（x）(a≠0且f(x)≠1)，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．5．函数对称性的几个重要结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(a＋b2，0)中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．6．对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a，0)和(b，0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．1．函数的概念及表示例1(1)若函数f(x)＝（14）x，x∈（－1，0）4x，x∈[0，1]，则f(log43)的值为()A.13B．3C.14D．4【解析】∵log43∈[0，1]，∴f(log43)＝4log43＝3.故选B.B1．函数的概念及表示例1(1)若函数f(x)＝（14）x，x∈（－1，0）4x，x∈[0，1]，则f(log43)的值为()A.13B．3C.14D．4【解析】∵log43∈[0，1]，∴f(log43)＝4log43＝3.故选B.(2)已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx.若对任意实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)B【解析】当m≤0时，显然不合题设；当m＞0时，f(0)＝1＞0，又函数f(x)的对称轴为x＝4－m2m若4－m2m≥0，即0＜m≤4，结论成立．若4－m2m＜0，即m＞4时，当Δ＝4(4－m)2－8m＜0时，即可，此时4＜m＜8综上可得0＜m＜8.故选B.(3)定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a，当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为．【解析】由题设f(x)＝x－2，x∈[－2，1]x3－2，x∈（1，2]当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]，当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]，故f(x)的值域为[－4，6]．[－4，6](3)定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a，当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为．【解析】由题设f(x)＝x－2，x∈[－2，1]x3－2，x∈（1，2]当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]，当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]，故f(x)的值域为[－4，6]．【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值域、解析式等，命题形式有两种，一种是以基本初等函数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数．2．函数的性质及应用例2(1)已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2.若F(a)＝b，则F(－a)＝．【解析】由题设F(a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＝b.3f(a)＋5g(a)＝b－2.又F(－a)＝3f(－a)＋5g(－a)＋2＝－3f(a)－5g(a)＋2＝－(b－2)＋2＝4－b.4－b2．函数的性质及应用例2(1)已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2.若F(a)＝b，则F(－a)＝．【解析】由题设F(a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＝b.3f(a)＋5g(a)＝b－2.又F(－a)＝3f(－a)＋5g(－a)＋2＝－3f(a)－5g(a)＋2＝－(b－2)＋2＝4－b.(2)已知函数f(x＋1)是偶函数，若任意x1、x2∈[1，＋∞)都有[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝f(－12)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系是()A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜cA【解析】由f(x＋1)是偶函数可知y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，从而y＝f(x)关于直线x＝1对称．又当x1、x2∈[1，＋∞)时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，可知f(x)在[1，＋∞)上为增函数，又a＝f(－12)＝f(52)．从而f(2)＜f(52)＜f(3)所以b＜a＜c，故选A.(3)若定义在[－2012，2012]上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[－2012，2