高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库1.求下列函数的值域：解法2令t＝sinx，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sinx|≤1,∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m万千米和m34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和，求该慧星与地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(cF处，椭圆的方程为12222byax（图见教材P132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足)3(3/xFAxFA或。作mFAFBOxAB3221B，则于故由椭圆第二定义可知得)32(34)(22mccaacmccaacm两式相减得,23)4(21.2,3231cccmcamacm代入第一式得.32.32mccamc答：彗星与地球的最近距离为m32万千米。说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca，另一个是.ca（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3.A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6Km，C在B正北偏西30，相距4Km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1sKm/，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则)32,5(),0,3(),0,3(CAB，因为PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线上。因为3BCk，BC中点)3,4(D，所以直线PD的方程为)4(313xy（1）又,4PAPB故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设),(yxP，则双曲线方程为)0(15422xyx（2）。联立（1）（2），得35,8yx，所以).35,8(P因此33835PAk，故炮击的方位角北偏东30。说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22ppyx。将B（4,-5）代入得P=1.6yx2.32船两侧与抛物线接触时不能通过则A(2,yA)，由22=-3.2yA得yA=-1.25因为船露出水面的部分高0.75米所以h=︱yA︱+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行[思维点拔]注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．5.如图所示，直线1l和2l相交于点M，21ll，点1lN，以A、B为端点的曲线段C上任一点到2l的距离与到点N的距离相等。若AMN为锐角三角形，6NB,3,17＝且ANAM，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：以直线1l为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。设曲线段C的方程为)0,)(0(22yxxxppxyBA，其中BAxx,为A、B的横坐标，MNp，所以)0,2(),0,2(pNpM，由3,17ANAM，得172)2(2AApxpx（1）92)2(2AApxpx（2），（1）（2）联立解得pxA4，代入（1）式，并由0p解得2214AAxpxp或，因为AMN为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp，所以14Axp由点B在曲线段C上，得42PBNxB，综上，曲线段C的方程为)0,41(82yxxy[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6.设抛物线)0(42aaxy的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。（1）求︱AM︱+︱AN︱的值（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a又圆方程16)]4([22yax将axy42代入得08)4(222aaxaxaxxNM42得︱AM︱+︱AN︱=8(2)假设存在a因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱所以︱AP︱=︱PP′︱，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。7.抛物线022ppxy上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若BFMFAF,,成等差数列（1）求证线段AB的垂直平分线过定点Q（2）若6,4OQMF（O为坐标原点），求抛物线的方程。（3）对于（2）中的抛物线，求△AQB面积的最大值。解：（1）设002211,,,,,yxMyxByxA，则21pxAF，22pxBF，20pxMF，由题意得2210xxx，AB的中点坐标可设为tx,0，其中0221yyt（否则0pBFMFAF），而222121212121yypyyxxyykABtpyyp212，故AB的垂直平分线为0xxptty，即00yppxxt，可知其过定点0,0pxQ（2）由6,4OQMF，得6,4200pxpx，联立解得2,40xpxy82。（3）直线AB：24xtty，代入xy82得0162222ttyy，2212212214644tyyyyyy，221222116yytxx,16422tt221221yyxxAB22161621tt425621t，又点0,6Q到AB的距离216td，dABSAQB21241625641tt64216256409641ttt令642162564096tttu，则53664512tttu，令0u即066451253ttt，得0t或162t或3162t，3162t334t时6964AQBS。[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线)22tan(:xyl交椭圆9922yx于A、B两点，若为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得09tan72tan236)tan91(2222xx2222122tan916tan6)tan91(tan1tan1xxAB由33tan33,31tan,22得AB，的取值范围是,656,0[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论2时的情况。9、已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于A、B两点（1）求证：OBOA（2）当OAB的面积等于10时，求k的值。（1）证明：图见教材P127页，由方程组)1(2xkyxy消去x后，整理得02kyky。设),(),,(2211yxByxA，由韦达定理得121yyBA,在抛物线xy2上，212221222121,,xxyyxyxyOBOAyyxxyyxyxykkOBOA,112121212211（2）解：设直线与x轴交于N，又显然,0k令），（－，即则01N1,0xy2121212121yyONyONyONSSSOBNOANOAB4)1(214)(121221221kyyyySOAB61,412110,102kkSOAB解得[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，∵点M（x0，y0）在直线上。∴-2k（2k2+m）+3，∴m=-kkk3223又BC与抛物线交于不同两点，∴⊿=16k2+16m0把m代入化简得0323kkk即0)3)(1(2kkkk，解得-1k0[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。11、已知椭圆的一个焦点F1（0，-22），对应的准线方程为y=-429，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-21平分。若存在，求l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。〖解〗依题意e=322（1）∵ca2-c=429-22=42，又e=322∴a=3，c=22，b=1，又F1（0，-22），对应的准线方程为y=-429。∴椭圆中心在原点，所求方程为：922yx=1（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-21平分，∴直线l的斜率存在。设直线l：mkxy由mkxy922yx=1消去y，整理得92)9(222mkmxxk=0∵直线l与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0即m2-k2-90①设M（x1，y1）、N（x2，y2）∴2192221kkmxx，∴kkm292②把②代入①可解得：33kk或∴直线l倾斜角32,22,3[思维点拔]倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。12、设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为（）A．625B．38C．311D．4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而23ab=2323()6abab