第三章机床误差综合数学模型-PPT课件

第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念3.1齐次坐标变换的基本原理3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4建立机床误差综合数学模型实例3.0齐次坐标变换的基本概念yBBAxBBAayxyayxxcossinsincos1100cossinsincos1BByxAAyxaayxBBAArTr矩阵矢量转换矩阵－二维变换xBXBYByBPBryAxAXAYAOBOAaXayAr解析式如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐标值为(x1,y1,z1)，当O1:X1Y1Z1坐标系沿X1轴平移x至新坐标系O2:X2Y2Z2后，则P点在新坐标系O2:X2Y2Z2坐标系中的坐标值(x2,y2,z2)与(x1,y1,z1)的关系可表示为：式中：Trans(x)—表征沿X1轴平移的平移矩阵。齐次坐标变换的基本概念12121210001000010100011xxxyyzz=Trans(x)2221xyz坐标系的坐标变换HomogeneouscoordinatetransformationofcoordinatesystemX1Y1Z1Y2Z2X2O1O2yzxxyzPTrans(x)100010000100001x－三维变换类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为若O1:X1Y1Z1坐标系绕X1轴旋转x后成为O2:X2Y2Z2坐标系，则式中：Rot(x)——绕X1轴的回转矩阵。Rot(x)类似地，绕Y1轴和Z1轴的回转矩阵可分别表示为Trans(y)；Trans(z)100001000100001y100001000010001z12121210000cossin00sincos0100011xxxxxxyyzzRot(x)2221xyz10000cossin00sincos00001xxxxRot(y)；Rot(z)cos0sin00100sin0cos00001yyyycossin00sincos0000100001zzzz齐次坐标变换的基本概念－三维变换在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先分别沿X1、Y1和Z1轴平移x、y和z，再分别绕X1、Y1和Z1轴旋转x、y和z，则表征O1:X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系O2:X2Y2Z2之间关系的齐次坐标变换矩阵为T=Trans(x)Trans(y)Trans(z)Rot(x)Rot(y)Rot(z)当旋转角度x、y和z非常小时，有sinx≈x;siny≈y;sinz≈z;cosx≈1;cosy≈1;cosz≈1当平移x、y和z分别有误差x、y和z时，如忽略二阶以上微量，可将上式齐次坐标变换矩阵简化为coscoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscossincoscossincossinsincossinsinsincoscoscos0001yzyzyxyzxzxyzxzxyxyzxzxyzxzxyxyz＝1110001zyxzxyyxzxyzT齐次坐标变换的基本概念－三维变换3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义设对已给有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’），满足（齐次）关系：x’=a11x+a12y+a13z,T：y’=a21x+a22y+a23z,（3-1）z’=a31x+a32y+a33z,称T是把有序数组（x，y，z）变到（x’，y’，z’）的一个齐次线性变换。有序数组（x’，y’，z’）称为在变换T下的（x，y，z）的像，而（x，y，z）则称（x’，y’，z’）的原像。方阵（3-2）称为齐次线性变换T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’）分别为两个空间坐标系A和B中的两个位置坐标，则称T是把坐标系A中的位置坐标（x，y，z）变到坐标系B中的位置坐标（x’，y’，z’）的一个齐次坐标（线性）变换。333231232221131211BA)(Taaaaaaaaaaij3.1.2变换矩阵ABXAZAc+cb+ba+aZBXBTYAYBβ图3-1坐标之间的齐次变换3.1.2变换矩阵如图3-1所示，A、B为二个空间坐标系，设r为坐标矢量，则有rA=rB（3-3）其中是从坐标系B变换到A的一个4×4齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有（3-4）若角度、和变化很小，并忽略二阶量则变换矩阵可为（3-5）TAB=coscoscossinsinsincoscossincossinsinsincossinsinsincoscossinsincoscossinsincossincoscosaabbcc0001TAB=1110001aabbccTABTAB3.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到x处，导轨无导向误差，与重合，O1在基准轴线i上，则与滑板相固连的一点P1（刀具或工件上任意点）处于理论位置，径矢1P1=r1，在和三轴上分量（投影）均为，亦即P1点在里的理论坐标为。如果此时刻，导轨存在导向误差，矢量随同沿j、k方向平移；绕转动角，则P1滑板在床身或立柱的导轨上作直线运动时，有五个自由度被导轨约束，即两个方向的平移和三个方向的转动，而滑板前进方向的自由度由进给系统控制。为了清楚的表达导轨导向误差的变化和计量，可在床身（或立柱）导轨和滑板上各建立一个直角坐标系和，如图所示。原点O1和基准轴线i（与主轴轴线平行或垂直）的选择可根据导向误差的测量方法来确定。原点O通常随同加工误差的度量基准一起固定在导轨纵向相应的位置上。另外，在滑板上加一个参考坐标系，它的坐标系与的坐标轴相应平行，并随滑板平移而不旋转。;;;oijk11111;;;oijk''''';;;oijk;;;oijk11'1'111,,xyz111,,xxyzr11ttyz、''',,ijk、、点偏离理论位置，产生加工误差。由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的平行度（或垂直度）误差造成；由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成；和分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在x处仅有导向误差，并且矢量随分别绕旋转，则转换到里成为矢量例如，记矢量绕轴旋转角而得到矢量的坐标变换为，由解析几何可知，记列矩阵为坐标变换矩阵为同理，矢量绕轴旋转、绕轴旋转而产生的坐标变换矩阵分别为，有ttyz、、、r11'''111,,iijjkk'''''111,,rxyzr1'i'r'iE'11''11'111000cossin0sincosixxxyyEyzzz''''Trxyz1111Trxyz'1000cossin0sincosiEr1'j'k'',jkEE'cos0sin010sin0cosjE'cossin0sincos0001kE当矢量顺次绕轴旋转角时，则可通过矩阵相乘得出。即符号“”表示记为。在上述三个旋转变换矩阵的元素中，由于导轨导向误差中角位移误差数值量很微小，可以作如下近：。因此，三个旋转矩阵任意交换相乘都得到同一结果，亦即不论旋转的顺序如何，旋转坐标变换的矩阵都是相同的。即的正负号按右手定则确定。在不考虑的平移误差的情况下，在x处，里的P1点在里的实际坐标为。已知P1点在的理论坐标为，则P1点的线位移误差为式中I为单位矩阵；、、为由角位移误差所产生的线位移误差。r1''',,ijk、、r1''''11ijkrEEErEr''',,ijkEEE、、sin,sin,sin;coscoscos1111E、、11''',,,,xyzxxyz111,,xxyz''11'''111''11xxxxxxyyyyrrzzzz111rrrxErrEIryzrxryrz综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位移误差和由角位移误差所产生的线位移误差、和，则滑板行进到某处x，固连于滑板任意点的线位移误差为或上式的数学模型可推广到用二对或三对直线导轨副进行二维或三维进给的加工场合。注意是依位移不同而异的。ix1111,,Pxyz111000iiriririixxxxxxxxxxyyyyyzzzzz111111iiixxxxxyxzyxyxxxxzzxzxxxxy、、iyizrxryrz机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵对于如图的机床拖板运动，图中为转角误差（一般很小），为移动误差，x为理论移动距离或位置坐标。用下列变换矩阵可以表达拖板的运动。TAB=1110001zyxzxyyxzxX1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差Motionerrorofrotaryjoint立式数控机床的主轴可抽象为如图所示。理想情况下，它绕着名义轴Z1轴旋转z时，它的变换矩阵为转动副（主轴）的运动学模型10010000100001zzT1-2由于主轴的变形、主轴与轴套之间存在间隙以及轴向窜动等原因，使得主轴存在转角误差分量x、y和z，平移误差分量x、y和z。此时，坐标系O2:X2Y2Z2相对于坐标系O1:X1Y1Z1的变换矩阵为Tr=T1-2T1110001zzyxzzxyyxz3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链图刀具12JJTJJT11JJT21JJTKKT112KKT10T参考处刀具分支工件分支工件主轴刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系。由于刀尖和工件上正被切削的点为同一点，故刀具与工件之间的联结为封闭矢量链。误差运动综合数学模型可通过从刀具坐标系（坐标系K）到工件坐标系（坐标系0）的链转换而得到。对于每个运动副，必须建立一个坐标系。由于不但要考虑几何