薄板的屈曲

薄板的屈曲能量法计算板的弹性失稳荷载主要内容:不同面内荷载作用下板的弹性失稳小挠度理论板的弹性曲面微分方程几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件板稳定理论在钢结构设计中的应用钢结构中板的分类：第6章薄板的屈曲厚板：受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。/1/5~1/8tb薄板：受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。1/80~1/100/1/5~1/8tb薄膜：受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。/1/80~1/100tb板失稳的特点：第6章薄板的屈曲板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一点的弯矩、和扭矩以及板的挠度都与此点的坐标有关。xMyMxyMw板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲基本假定：z垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上，薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜应力。应力分量、和远小于、和，故可以忽略他们产生的正应变、剪应变和。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应力问题。薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。zxzyxyxyzzxzy板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲弹性曲面微分方程以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的力矩的平衡方程，合并后有：44422242242222xxyy为板的抗弯刚度；32121EtD为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；xyNN、为板中面单位长度上的剪力。xyN小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载单向（x方向）均匀受压四边简支板，由0yxyNN=44424224220x44422242242222xxyy均匀受压简支板小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载边界条件：11sinsinmnmnmxnywAab0xxa、时：0w220wx0yyb、时：0w220wy代入平衡方程有：44224442242242112sinsin0xmnmnNmmnnmmxnyAaabbDaab满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：4422444224224220xNmmnnmaabbDa或22222222xaDmnNmab小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；2222222222,2222222211xcraDmDabmDNkmabbmabbk为屈曲系数，且：2222221abmbamkmmabambmab由，有0dkdm2120mmmmmin4k2,,min24xcrDNb2,,22121/xcrxcrNkEtbt均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比的平方成反比，而与板的长度无关。小挠度理论板的弹性曲面微分方程第6章薄板的屈曲单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载板件屈曲系数（四边简支）能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲板在微弯状态时的总势能为：2222222222200212abDUV200122abxyxy能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲瑞利-里兹法要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。11,mnmnwAxy假定挠曲面函数为：代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：1112000mnAAA系数行列式为零板的屈曲方程能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲瑞利-里兹法算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和一个非加载边简支，另一非加载边自由。sinmxwAya假定挠曲面函数为：代入总势能公式，积分后有：由，有总势能为：0yxypp222222222222000012122ababxD222222222322212612xpDmmbmAabAabaaa由势能驻值原理，有：22222223210xDmbmbmbApaaa能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲瑞利-里兹法220.425bka若取，则：令，可得px的最小值：1m2,2xcrDpkb22222222222216161xmbDDmbpabba0A222261/bka0.3均匀受压三边简支一边自由能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲迦辽金法要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。1,niiiwAxy假定挠曲面函数为：板的平衡微分方程为：10020000,0,0,0abababnLwxydxdyLwxydxdyLwxydxdy积分关于Ai的线性方程组0Lw建立迦辽金方程组：系数行列式为零板的屈曲方程能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲迦辽金法算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边简支，两非加载边固定。2sinsinmxywAab假定挠曲面函数为：建立迦辽金方程：板的平衡微分方程：44424224220x200sinsin0abmxyLwdxdyab由，有：22243amb2222222281633xDmbapbamb20xdpdm2,27.283xcrDpb能量法计算板的弹性失稳荷载第6章薄板的屈曲不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数屈曲系数与的关系k对于很宽的薄板，采用纵向加劲肋减小宽度b是有效的。加载边固定与加载边简支对屈曲系数的影响：当a/b2时提高幅度很大。对于单向均匀受压的狭长板，用横向加劲肋减小比值a/b从而提高屈曲系数并无明显效果；如把加劲肋间距取得小于2b又很不经济。不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲单向非均匀受压板的弹性失稳规定压应力为正值，拉应力为负值，应力梯度为：非均匀受压简支板1201距离上边缘y处的应力为：101/yb为均匀受压；00为纯弯矩作用。02用里兹法求解屈曲荷载11sinsinmnmnmxnywAab假定符合简支边界条件的挠曲面函数为：不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲单向非均匀受压板的弹性失稳作用于板中面单位长度荷载为：10101/1/xxptybpyb由总势能公式有（）：222222222222000012122ababxD0yxypp242222221222111188xmnmnmnmnpabmnmDabAAaba2222201222221111844xmnmnmnmnpaAmbbAmnbamn带入w及px不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲单向非均匀受压板的弹性失稳2240011111222222240001111121132222222400112113222221611029162481409225482190252xxxxxxxDpApAabaapADpApAaabaapADpAaaba取二重三角级数的前三项，且m＝1；由势能驻值原理有：由系数行列式为零，即可求出屈曲荷载。不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲单向非均匀受压板的弹性失稳临界应力为：22221,222121121xcrcrpkEtEtkttbb其中屈曲系数为：222222222114193219/62519/81k时，令，则纯弯曲板的屈曲荷载为：02/ab21,2xcrkDpb纯弯曲板的屈曲系数不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲均匀受剪板的弹性失稳非均匀受压简支板对角线方向因受压而屈曲，板屈曲波长与另一对角线方向的拉力有关，对于长板，屈曲时的半波长度约为板宽的1.25倍。用迦辽金法求解屈曲荷载11sinsinmnmnmxnywAab板的平衡方程为：板中面力为：，xyyxxyyxNNpp0xyNN44424224220xyp第6章薄板的屈曲1222sinsinsinsinxyxywAAaaaa假定挠曲面函数为：建立迦辽金方程组：0000sinsin022sinsin0aaaaxyLwdxdyaaxyLwdxdyaa不同面内荷载作用下板的弹性失稳均匀受剪板的弹性失稳积分后有：412241223209321609xyxypAAaDpAADa屈曲方程4242329032169xyxypaDpDa44,22911.18xycrDDpaa第6章薄板的屈曲4,2xycrsDpkb对于矩形板，精确分析后可知：不同面内荷载作用下板的弹性失稳均匀受剪板的弹性失稳临界应力为：2222,222121121xycrscrspkEtEtkttbb均匀受剪板的屈曲系数ks为剪切屈曲系数（P141，表6.1）不同面内荷载作用下板的弹性失稳第6章薄板的屈曲一个边缘受压的四边简支板的临