大学概论抽样分布

抽样分布2§2抽样分布常用统计分布分位数统计量的分布称为抽样分布.正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.一常用统计分布若相互独立，服从正态分布12,,...,nXXXiX2(,),1,2,...,,iiNin1niiiYaX(不全为零)也服从正态分布ia2211(),()nniiiiiiEYaDYa定理一且则它们的线性组合设是来自正态总体的样本，则称随机变量12,,...,nXXX(0,1)N222212...nXXX服从自由度为的分布，n222~()n122221,02()(;)20,0nxnxexnxnx2分布的概率密度函数为记作分布的图形2n=1n=4n=6n=12分布的性质2设随机变量，随机变量，21~()Xn22~()Yn且与相互独立，则XY212~()XYnn这个性质叫做分布的可加性2若随机变量，2~()Xn(),()2EXnDXn则设随机变量，随机变量~(0,1)XN2~()Yn并且与相互独立，则称随机变量XYXTYn服从自由度为的分布nt~()Ttn分布的概率密度函数为t1221()2(;)(1)()2nnxtxnnnnx记为(又称Student分布)分布的图形tn∞92分布的图形关于y轴对称.当n充分大时，其图形类似于标准正态分布的概率密度的图形t且与相互独立，则称随机变量XY分布的概率密度函数为F设随机变量，随机变量，21~()Xn22~()Yn12XnFYn服从自由度为的分布，12(,)nnF其中称为第一自由度，1n112121112221212122()2()(),0(;,)()()(1)220,0nnnnnnnxxnnnnnfxnnxnx12~(,)FFnn记为2n称为第二自由度.分布的图形F12,10,40nn12,11,3nn分布的性质F如果随机变量，则随机变量12~(,)XFnn211~(,)FnnX分布、分布、分布的概率密度中都出现了伽马函数2tF10()xxedx上式积分很难直接计算，这使得三种分布的分布函数也很难直接计算，因而采用制表的方法给出它们的数值，在实际应用中可查表求得随机变量落在各区间中的概率分布、分布、分布称统计学的三大抽样分布2tF例1证明若随机变量，则()Ttn2(1,)TFn证明(0,1),XN例2设总体1234,,,XXXX为简单随机样本问：统计量服从什么分布？122234XXXX解例3设总体是来自的样本.12(1,),,,,nXBpXXXX（1）求的分布律；12(,,,)nXXX（2）求的分布律；1niiX（3）求.2(),(),()EXDXES解二分位数设满足，若使01x()()xPXxfxdx则称为此分布的x例如，那么标准正态分布的分位数，~(0,1)XN记为，u221()2tuPXuedt如0.050.0251.645,1.96uu由对称性，有1uuuu定义分位数（点）.且满足查表对的分位数满足2()n2()n22(())Pn对的分位数满足()tn()tn(())Pttn12((,))PFFnn1tt由对称性，有由分布的性质，有F121211(,)(,)FnnFnn对的分位数满足12(,)Fnn12(,)Fnn2()n()tn()tn12(,)Fnn对于分位数，有时还须求出、，使1212(),()22PXPX显然为的分位数，2X2为的分位数1X12、称为的双侧分位数12X例如，12~(,)XFnn12()0.025,()0.025PXPX则10.9751220.02512(,)(,)FnnFnn221212求、使三正态总体的样本均值与样本方差的分布定理二对正态总体的样本均值，有2(,)NX2~(,)XNn此结论告诉我们，，越大方差越小.2~(,)XNnn当2,0nn则将无限逼近于X大数定律的结论证明略定理三设是来自正态总体的12,,...,nXXX2(,)N样本，、分别是样本均值与样本方差，则有X2S1°2°222(1)~(1)nSn与相互独立X2S证明略定理四设是来自正态总体的12,,...,nXXX2(,)N样本，、分别是样本均值与样本方差，则有X2S~(1)XTtnSn证明例4从正态总体中抽取样本2(,0.5)N1210,,,XXX若未知，计算1021()1.68iiPX解定理五设和分别来自正态总体112,,...,nXXX212,,...,nYYY和的两个样本，它们相互独立，则211(,)N222(,)N12221122()()(0,1)//XYUNnn证明定理六设和分别来自正态总体112,,...,nXXX212,,...,nYYY和的两个样本，它们相互独立，则21(,)N22(,)N121212()()~(2)11wXYTtnnSnn其中12111211,,nniiiiXXYYnn2222121(),1niiSYYn1221111()1niiSXXn222112212(1)(1)2wnSnSSnn证明定理七设和分别来自正态总体112,,...,nXXX212,,...,nYYY和的两个样本，它们相互独立，则211(,)N222(,)N222212121222222112~(1,1)SSSFFnnS其中1111,niiXXn1221111(),1niiSXXn2222121()1niiSYYn2121niiYYn证明本节结束，谢谢！例1证明若随机变量，则()Ttn2(1,)TFn由于，从而可由定义知()TtnXTYn其中2~(0,1),~()XNYn且与相互独立.XY22(1,)/XTFnYn即22/XTYn22(1)X而证明解1234,,,(0,1)XXXXN所以12(0,2)XXN12(0,1)2XXN，即22234(2)XX121222223434/2(2)/2XXXXtXXXX又且12XX2234XX与相互独立因为，(0,1),XN例2设总体1234,,,XXXX为简单随机样本问：统计量服从什么分布？122234XXXX例3设总体是来自的样本.12(1,),,,,nXBpXXXX（1）求的分布律；12(,,,)nXXX解1()(1),0,1xxPXxppx因为相互独立，所以12,,,nXXX11221(,,,)()nnniiiPXxXxXxPXx11(1)iinxxipp（1）总体的分布律为11(1),(0,1)nniiiixnxippx例3设总体是来自的样本.12(1,),,,,nXBpXXXX（2）求的分布律；1niiX解（2）由，(1,)iXBp1()niiPXk其分布律为(1),0,1,2,,kknknCppkn1(,)niiXBnp有例3设总体是来自的样本.12(1,),,,,nXBpXXXX（3）求.2(),(),()EXDXES解（3）()()iEXEX22211()()1niiESEXnXn22()()()()11iinnDXEXDXEXnn221(1)(1)11nnppppppnnn1()()iDXDXn2pppq,p11(1)pppqnn定理四设是来自正态总体的12,,...,nXXX2(,)N样本，、分别是样本均值与样本方差，则有X2S~(1)XTtnSn证明由定理二、三知2~(,),XNn从而~(0,1)XNn222(1)~(1),nSn与相互独立X2S因此，22(1)~(1)(1)XXnSTtnnnSn例4从正态总体中抽取样本2(,0.5)N1210,,,XXX若未知，计算1021()1.68iiPX解未知，由于.2(,0.5)iXN(0,1),0.5iXN210102211()4()(10)0.5iiiiXX1021()1.68iiPX故20.75(10)6.737,1021()1.680.75iiPX故查分布表知2由定理二，有10214()6.72iiPX定理五设和分别来自正态总体112,,...,nXXX212,,...,nYYY和的两个样本，它们相互独立，则211(,)N222(,)N12221122()()(0,1)//XYUNnn证明2111~(,),XNn12221212()()~XYUnn~XY而总体与相互独立，XY从而它们的样本均值和样本方差也相互独立，故XY22121212(,),Nnn(0,1).N由定理二知2222~(,)YNn证明221212~(,)XYNnn1212()()~(0,1)11XYUNnn又221112(1)~(1),nSn且它们相互独立，由分布的可加性知222121222(1)(1)~nnVSS2111~(,),XNn2222~(,)YNn因故222222(1)~(1)nSn212(2)nn1212()()~11wXYSnn12(2)UTVnn1212()()~(0,1)11XYUNnn22212121222(1)(1)~(2)nnVSSnn由得12121222121122()()(2)(1)(1)XYnnnnnnnSnS12(2)tnn2211121(1)~(1),nSn2222222(1)~(1)nSn证明且相互独立从而22122221SFS定理六要求两个正态总体的方差相等12~(1,1)Fnn定理七则未要求211211222222(1)1(1)(1)nSnnSn由定理三知