函数的极值与最值练习题及答案

【巩固练习】一、选择题1．（2015天津校级模拟）设函数2()lnfxxx，则（）A.12x为()fx的极小值点B.2x为()fx的极大值点C.12x为()fx的极大值点D.2x为()fx的极小值点2．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝03．函数y＝23x＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．173B．103C．－4D．6434．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点5．（2015金家庄区校级模拟）若函数32()132xafxxx在区间1,43上有极值点，则实数a的取值范围是（）A.102,3B.102,3C.1017,34D.172,46．已知函数y=―x2―2x+3在区间[a，2]上的最大值为154，则a等于（）A．32B．12C．12D．12或327．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13B．－15C．10D．15二、填空题8．函数y=x+2cosx在区间1[,1]2上的最大值是________。9.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是___。10．f（x）=1+3sinx+4cosx取得最大值时，tanx=11．设函数3()31(R)fxaxxx，若对于任意x∈[－1，1]，都有()0fx成立，则实数a的值为________。三、解答题12．求下列函数的极值：（1）49623xxxy；（2）242xxy。13．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m在[－2，2]上有最大值3，试确定常数m，并求这个函数在闭区间上的最小值．14．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝32x2－15x＋3恰有三个不同交点，求b的取值范围．15．(2014北京)已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈[0，2π](1)求证：f(x)≤0；(2)若bxxasin对2,0πx上恒成立，求a的最大值与b的最小值．【答案与解析】1．【答案】D【解析】'22212(),xfxxxx当02x时，'()0fx；当2x时，'()0fx，所以2x为()fx的极小值点，故选：D。2．【答案】D【解析】y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根∴－23ba＝13，∴a＋2b＝0.3.【答案】A【解析】y′＝x2＋2x－3.令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．当x∈[0,1]时，y′0.当x∈[1,2]时，y′0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x＝1时，ymin＝－173.4．【答案】B【解析】x－1时，f′(x)0X－1时，f′(x)0∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．5．【答案】D【解析】32()132xafxxx'2()1,fxxax210xax有两个解，则240;a故22aa或;函数32()132xafxxx在区间1,43上有极值点可化为210xax在区间1,43上有解，①当28a时，'(4)0f，即16410a，故17;4a故1724a。②当8a时，''1(4)()03ff无解；综上所述，1724a，故选D。6．【答案】C【解析】'()22fxx。令'()0fx，得x=－1。当a≤―1时，最大值为4，不合题意；当―1＜a＜2时，()fx在[a，2]上是减函数，()fa最大，215234aa，12a，32a（舍）。7.【答案】A【解析】求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.8．【答案】36【解析】∵'12sinyx，由'06yx时当1,26x时，y＇＞0，当,16x时，y＇＜0。∴当6x时，max36y9．【答案】a2或a-1【解析】2()363(2),fxxaxa∵f(x)既有极大值又有极小值,2363(2)xaxa＝0有两个不同的解。10．【答案】43【解析】f′（x）=3cosx－4sinx=0tanx=43，f(x)在tanx=43时取得最大值，即填43。11．【答案】4【解析】若x=0，则不论a取何值，()0fx显然成立；当x＞0，且x∈[－1，1]，即x∈（0，1]时，3()310fxaxx可化为2331axx，设2331()gxxx，则43(12)'()xgxx。所以，()gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减。因此，max1()42gxg，从而a≥4；当x＜0且x∈[－1，1]，即x∈[―1，0）时，3()310fxaxx可化为2331axx，()gx在区间[―1，0）上单调递增，因此min()(1)4gxg，从而a≤4，综上可知a=4。12．【解析】（1）0)1(fy极大值，4)3(fy极小值。（2）提示：)1)(1(444'3xxxxxy。令y′=0，得11x，02x，13x，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：由上表可知：1)1()1(ffy极大值，0)0(fy极小值。13.【解析】f′(x)＝6x（x－2）则x＝0或x＝2，又有区间端点x＝－2f（0）＝mf（－2）＝－40＋m，f（2）＝－8＋m，∴f（0）＝m为最大值∴m＝3最小值为f（－2）＝－37．14.【解析】(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，由f′(－1)＝0，解得a＝－9.则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,3)．(2)令g(x)＝f(x)－23(153)2xx＝x3－92x2＋6x＋b－3，则原题意等价于g(x)＝0有三个不同的根．∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．则g(x)的极小值为g(2)＝b－10，且g(x)的极大值为g(1)＝b－120，解得12b1.∴b的取值范围1(,1)2.15．【解析】(1)由f(x)＝xcosx－sinx得，f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，此在区间2,0π上f′(x)＝－xsinx＜0，所以f(x)在区间2,0π上单调递减，从而f(x)≤f(0)＝0．(2)当x＞0时，“axxsin”等价于“sinx－ax＞0”，“bxxsin”等价于“sinx－bx＜0”令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c，当c≤0时，g(x)＞0对x∈(0，2π)上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈(0，2π)，g′(x)＝cosx－c＜0，所以g(x)在区间[0，2π]上单调递减，从而，g(x)＜g(0)＝0对任意x∈(0，2π)恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈(0，2π)使得g′(x0)＝cosx0－c＝0，g(x)与g′(x)在区间(0，2π)上的情况如下：x(0，x0)x00(,)2xg′(x)＋－g(x)↑↓因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)＞g(0)＝0进一步g(x)＞0对任意x∈(0，2π)恒成立，当且仅当π即ππ200212ccg综上所述当且仅当π2c时，g(x)＞0对任意x∈(0，2π)恒成立，当且仅当c≥1时，g(x)＜0对任意x∈(0，2π)恒成立，所以若bxxasin对x∈(0，2π)上恒成立，则a的最大值为π2，b的最小值为1