排列组合题型总汇

排列组合问题题型总汇一、平均分组问题：1.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。【答案】1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得221164212222CCCCAA两个两人组两个一人组，再全排列得：221146421422221080CCCCAAA2.（2008湖北）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150答案D3．（2007全国Ⅱ理）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种答案B4.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【答案】36【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA5.（2009重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．155B．355C．14D．13【答案】B解析因为将12个组分成4个组的分法有444128433CCCA种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422CCCCA，故个强队恰好被分在同一组的概率为355。二、位置问题（在哪个位置、不在哪个位置）1.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【答案】B2.8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有14A种排法。再排乙，有15A种排法，再排其余的人，又有66A种排法，所以一共有14400661514AAA种排法。法二：先排甲，有14A种排法，乙不能排的位置从6个中选2个排26A剩下5个全排55A，所以一共有14400265514AAA种排法3.从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n()n(A)n(B)n(AB)252()Ⅰ－－＋∩＝＝种．PPPP6453534225224353546AAAA另法：甲不跑第一棒—甲不跑第一棒且乙跑第四棒25224143515AAAA三、组成几位数问题，个位为奇数、偶数问题。。。。。。(个位、首位优先考虑)1.在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有()个根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：第一步：排个位——个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有种选法；第二步；排首位——首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个，共有种选法；第三步：排中间两位，中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有种排法．所以符合条件的四位数共有ACC241414=4×4×4×3=192(个)．四、涂色、种地问题1.要用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图上色，每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则上色方法有（C）A.24种B.32种C.48种D.64种2.将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有____48____种.3*2*2*2*2=483.将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有____42____种.（三种颜色必须用全，以数字作答）3*2*2*2*2-2*23C=42五、相邻问题与不相邻问题（捆绑法与插空法）1.8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？解：把甲、乙、丙先排好，有22A种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有66A种排法，所以一共有6622AA=1440种排法。2.排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？解：先排5个不是小品的节目，有55A种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空隙，将3个小品插入进去，有35A种排法，所以一共有3555AA=7200种排法。3.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有()个．(用数字作答)解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有种插法，所以符合条件的八位数共有＝288(种)．六、隔板法1.6个三好生名额分给3个班，每个班至少一个名额，则总的分法数是解：25C=102.10个三好生名额分给3个班，每个班至少2个名额，则总的分法数是26C=153.10个三好生名额分给1、2、33个班，每个班分到的名额不能少于班级编号数，则总的分法数是26C=154.六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问有多少种不同的分法？解：用档板法处理，○|○○|○○○○○○，结果为2262828CC．5.求不定方程1236xxx的非负整数解的个数？求不定方程1236xxx的正整数解的个数？七、转化法1.一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有C8228种走法。2.（理）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（A）A．38C种B．38A种C．39C种D．311C种八、至多、至少问题（间接法）九、分类讨论问题：1.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237CA种，因此共有不同的站法种数是336种．2.(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C49D28【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227CC42，另一类是甲乙都去的选法有2127CC=7，所以共有42+7=49，即选C项。3.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解:分两类(1)甲组中选出一名女生有112536225CCC种选法;(2)乙组中选出一名女生有211562120CCC种选法.故共有345种选法.选D4.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．891B．2591C．4891D．6091【答案】C【解析】因为总的滔法415,C而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为1121212116546546544154891CCCCCCCCCC十、N个不同元素的圆周排列数为nAnn=(n-1)!。（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题