动荷载

第十四章动荷载§14-1概述§14-2动静法的应用§14-3构件受冲击时的近似计算§14-4提高构件抗冲击能力的措施目录§14-1概述静荷载：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到最终值。此时构件内各质点无加速度（或很小可忽略不计），即构杆处于静止或匀速直线运动状态。以前各章研究的就是静荷载作用下构件的强度、刚度和稳定性问题。动荷载：使构件产生明显加速度的载荷或者随时间显著变化的载荷。此时构件内各质点具有加速度，即构件处于不平衡状态。这类问题称为“动荷载问题”，相应的荷载为动荷载，应力为动应力，变形（位移）为动变形(动位移)。本章主要研究：（1）动静法的应用；（2）冲击§14-2动静法的应用动静法原理：maF光滑由牛顿定律：Fma0Fma令gFma惯性力(与a方向相反)0gFF则上式变为：形式上为一平衡方程gF在构件运动的某一时刻，给每个质点虚加上惯性力，则该惯性力与构件上已知荷载和支反力，在形式上构成一组平衡力系。于是，构件可按这种假想的平衡状态来计算内力及应力和位移。一构件作匀加速直线运动aldFx例如，以匀加速度a起吊一根直杆，设杆的长度为l，横截面面积为A，材料的密度为，弹性模量为E。求杆的动应力和动伸长。单位长度的质量为A，重力的集度为Ag(↓)，惯性力的集度为Aa(↓)，则作用在杆上的总荷载集度（动荷载集度）为ldFxdqd1aqAgAaAgg设x截面上的动轴力为FNd(x)，取图示分离体Nd()FxxdqNdd0()0xFFxqx()1NddaFxqxAgxgNdd0()lFxldxEA则x截面上的动应力为Ndd()FxA杆的动伸长为xldFdqNd()FxxdqNdd()1aFxqxAgxgxlstFstq当加速度a为零时，即杆仅在自重作用下，其静荷载、静应力、静伸长分别为st,qAgd1aqAgg引入记号1daKg(构件作匀加速直线运动时的动荷因数)212AglaEAg1agxg2st2AgllEAst,gxddstqKqddstKddstlKl(14-2~4)当构件作匀加速直线运动时，可先计算构件在静荷载作用下的静应力、静变形（或静位移）。将它们乘以动荷因数Kd后，即可得到动应力、动变形（或动位移）。例14-1图示均质水平杆，以匀加速度a起吊。杆的长度为l，材材的密度为，弯曲截面系数为Wz，弯曲刚度为EIz。求杆中的最大动应力d,max及最大动挠度wd,max。adFdFBACl/2stql/2Mxst,maxM解：把杆简化成受均布荷载的简支梁，其静载集度qst＝Ag22st,maxst1188MqlAgl最大静弯矩发生在C截面处，其值为44stst,max55384384zzAglqlwEIEI最大静应力为2st,maxst,max8zzMAglWW最大静挠度也发生在C截面，其值为adFdFBACl/2stql/2Mxst,maxM22st,maxst1188MqlAgl动荷系数为1daKg最大动应力和最大动挠度分别为d,maxdst,maxwKwd,maxdst,maxK218zAglagW451384zAglagEI二构件作匀角速度转动例14-2图(a)所示为一铸铁飞轮，绕通过圆心且垂直于飞轮平面的轴，以匀角速度w转动。设飞轮轮缘的平均直径为D，壁厚为d，径向截面的面积为A，材料的密度为＝7.65×103kg／m3，许用拉应力[t]=15MPa。试求轮缘径截面上的正应力和轮缘轴线上各点的线速度之许用值。oDwdaobdq解：略去辐条，近似取薄壁圆环作为飞轮的计算简图(图b)。由于是匀角速转动，环上任一质点的切线加速度等于零，而只有向心加速度。设环的壁厚与平均直径相比较小，故可近似地认为环上各质点的向心加速度an的大小相同，且an=(D/2)w2。按照动静法，虚加上沿圆环轴线均匀分布的惯性力，其集度为qd，方向与an相反。2dn2DqAaAwddqy将圆环沿直径截分为二，并研究上半部分(图c)Ndd02sin2DFqd0yF由得dNd2qDFdqD2d2DqAw224ADw作为薄壁圆环，可近似认为正应力沿壁厚均匀分布。于是，可得圆环径截面上的拉应力为NddFA224Dw22Dw2v式中，v=(D/2)w是圆环轴线上的点的线速度。tv圆环匀速转动时的强度条件为2dtv圆环轴线上各点的许用线速度为63151044.3ms7.6510DNdFNdFc讨论：由于以上计算中略去辐条的影响，计算出的[v]偏大；d与A无关，所以增加A不能减少d；减小v(w)可使d减少。例14-3AB杆和CD杆在A处刚性连接，AB杆以角速度w绕y轴匀速转动，AB杆的长度为l，横截面面积为A，材料的密度为，弹性模量为E。试求AB杆内的最大正应力和AB杆的伸长量。不计由自重产生的弯曲变形。xdqxdqd2212AlwABDCxylwNdFxxlNdFx解：在AB杆上虚加惯性力，如图2dqxAxw以x截面右边一段杆为分离体，如图0xFdNd0lxqdFxNddlxFxqd2lxAdw22212Alxw杆的轴力图如右图所示x截面处惯性力的集度为xdqx2212AlwABDCxylwNdFx222Nd12FxAlxwx=0处轴力最大，其最大轴力为22Nd,max12FAlw最大正应力为Nd,max22d,max12FlAw杆的伸长量为Ndd0()lFxldxEA22202lAlxdxEAw233lEw例14-4直径d=100mm的轴上装有一个转动惯I0=0.05kN·m·s2的飞轮。轴的转速为n=90r/min，用制动器在10s内使飞轮停止转动。求轴内的最大切应力。不计轴的质量和轴承内的摩擦力。wdl飞轮制动器dMdM三构件作匀加（减）速转动解：在10s内使飞轮停止转动，轴要产生角加速度，在轴的飞轮处虚加与角加速度转向相反的惯性力偶矩，该力偶矩与制动器的摩擦力偶矩相平衡，使轴产生扭转变形。轴的转动角速度为260nw290rad3rad/s60s设制动过程中为匀减速转动，则角加速度为0tw2030.3rad/s10（负号表示和w的转向相反）惯性力偶矩为d0MI0.050.30.015kNmdMwdl飞轮制动器dMd0.015kNmM轴的扭矩为dd0.015kNmTM横截面上的最大扭转切应力为dd,maxpTW33-30.01510Nm10010m/166a0.2410Pa0.24MP例14-5卷扬机以等加速度a=5m/s2向上起吊重量P1=40kN的重物，鼓轮的重量为P2=4kN，直径D=1.2m，轴的[100MPa，长度l=1m。试用第三强度理论设计轴的直径d。1dPaDb2ld1P2Pa2l解：1分解运动状态，确定动荷载作用在钢丝绳上的动荷载为1dd115114060.4kN9.8aPKPPg钢丝绳的加速度a，就是鼓轮边缘处的切向加速度，即at=a，鼓轮的角加速度为160.4kNdPed2MaDb2ld1P24kNPa2ltaaRR虚加在鼓轮上的惯性力偶矩为ed20MII0为鼓轮对转轴的转动惯量22012PIRg则222ed211140.650.612kNm2229.8PPaMRRagRg2作用在轴上的荷载及内力图将P1d向轴的中心简化，得作用在轴上C截面的横向力和扭转力偶矩分别为160.4kNdPed20.612kNmMaDb1d60.4kNPed160.40.636.24kNmMAB2l2lC64.4kN36.825kNmd1d260.4kN4kN64.4kNPPPeed1ed236.240.61236.852kNmMMM2ld1P24kNPa2lxM16.1kNmxT36.82kNmAB2l2lC64.4kN36.825kNm3求轴的直径22r3MMT2216.136.82540.19kNmr3r3r3332zMMWdr3332Md3363240.19100.160m100100.160m160mm§14-3构件受冲击时的近似计算BA图示重量为P的重物(通常称为冲击物)从距杆端为h处自由落下。当冲击物与杆B端接触时(杆AB称为被冲击物)，由于杆件阻碍冲击物的运动，它的速度迅速减小，直至为零。这一过程称为冲击。由于冲击过程非常短促，一般仅为(0.001～0.01)s。所以加速度的大小很难确定，也就难以采用动静法进行分析。工程中一般采用基于某些假设的能量法进行近似计算。BAstΔstΔdΔ计算冲击问题时所作的假设：(3)在冲击过程中，材料仍在线弹性范围内工作，即在冲击荷载作用下，材料仍服从胡克定律，且Ed=Est=E；(2)冲击物不回弹，附着在被冲击物一起运动；(1)冲击物为刚体且忽略被冲击物的质量；根据以上假设，当冲击物速度减小到零时，AB杆受到冲击荷载为Fd，B端产生动位移为d，重物所减少的势能为stΔdΔBAABBB(4)略去冲击过程中的能量损失，利用能量守恒定律分析冲击问题。PdEPhstΔdΔBAABBB势能减少：dddFllEAB端的动位移为PdEPh杆内的应变能为2εdd122dEAVFld＝根据能量守恒定律应有PεdEV2dd2EAPhl＝2dd220EAPlPhl2dd220PlPlhEAEA式中：ststPllEA相当于将冲击物的重量P当做静荷载作用在杆端时，杆在被冲击点处沿冲击方向的静位移。stΔdΔBAABBB2dd220PlPlhEAEAststPllEA2dstdst220h关于的一元二次方程dΔ从而可以解得2dststst2hstst211h由于d应大于st，所以上式中根号前取正号，即dstst211h引入记号dst211hK（14-5）Kd称为自由落体冲击时的动荷因数ddstK两边乘以E/lddstKstΔdΔBAABBBdstst211hdst211hK引入记号于是上式可写成（14-6）ddFlEAstPlEAddFlPlKEAEAddFPKAA（14-7）dst211hK自由落体冲击时的动荷因数讨论：Δst------将冲击物的重量当做静荷载作用在冲击点处，冲击点处沿冲击方向的静位移。①Δst越大，Kd越小；②h=0（骤加荷载）时，Kd=2③（14-5）~（14-7）式也适用于其它线弹性结构，结构不同，st、Δst的表达式不同。求解自由落体冲击问题时，首先把冲击物当作静荷载加到被冲击物的冲击点处，求出st、Δst，将它们分别乘以Kd，可得d和Δd。练习：求ΔstEIlABhPBP33PlEIstBA/2l/2lPhCBAPC348PlEIstBA/2l/2lPhCkAPCk2Pk4Pk348PlEI3st448PPlkEI例14-6重量P＝2kN的重物从高度h＝20mm处自由落下，冲击到简支梁跨度中点的顶面上(图a)。