平面与平面所成的角课件

2.二面角与平面和平面的垂直关系9.7直线和平面所成的角与二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角二面角l2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角二、二面角的平面角ABPl1、定义二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AADBCl二面角--l--lBA,BDACAC⊥lBD⊥lOEOO二面角A--BC--DD14解：ABPlO二面角例2．如图P为二面角内一点，PA⊥,PB⊥,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。l设过PA、PB的平面PAB与棱l交于O点∵PA⊥∴PA⊥l∵PB⊥∴PB⊥l∴l⊥平面PAB∴∠AOB为二面角的平面角l又∵PA=5，PB=8，AB=7BPAPABBPAPP2cos222由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴所求二面角的度数为120º212、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内lPABABPlABOlP—定义法—三垂线(逆)定理法—垂面法二面角ABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º二面角例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。AB∠COD是二面角的平面角AB①②③一“作”二“证”三“计算”ABCD例3.A为二面角－CD－的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面成30º，求二面角－CD－的大小。二面角HO解：作BH于于H，连结AH过H作HOCD于O，连结OB由三垂线定理可得：BOCD∠BOH是二面角的平面角CD则222a∴所求二面角的大小为45º设AO=a在RtAOB中，BO=a,AB=a2在RtAHB中，BAH=30º,AB=a,BH=a在RtBHO中，sin∠BOC=22BHOBABCD例4已知在一个60的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm,求线段CD的长。,12060180,,,000DBACBDABABCA解：由已知22)(||DBBAACDCACDBDBBABAACDBBAAC222||||||222022212086200846COS)21(8620084622268)(172||cmDC二面角1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习:OABCP60º二面角2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？lPβlAB作业1：已知Rt△ABC在平面内，斜边AB在30º的二面角-AB-的棱上,若AC=5，BC=12,求点C到平面的距离CO。ACBOD二面角ODC作业小结二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量1、定义法2、三垂线（逆）定理法3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”3.如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l，AO=BD∵AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOO437222DOCOCD在Rt△COD中，DO=AB=319E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC＝120，71202222COSACAOAOACCO∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴二面角两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。已知：ABα，AB⊥β求证：α⊥βαβCDABE∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角。又AB⊥BE，即二面角α-CD–β是直二面角∴α⊥β证明：设α∩β=CD则由ABα知AB、CD共面∪∵AB⊥β，CDβ三、平面和平面的垂直关系ABC84页第九题1111191.(1);(2);(3).ACBCBCOAOACAOABCDAOBAOC、在正方体中，棱长为，求与所成的角与平面所成角的正切平面与平面所成的角D1ABCDA1C1B1O于它们交线的直线那么在一个平面内垂直如果两个平面垂直,CDABCDAB,,,:已知AB:求证CDBAE.垂直于另一个平面,,,:CDABABCD证明,,CDBEBCDB作过垂足090,,ABECDABEBE即的平面角是直二面角且BECDAB和的两条相交直线垂直平面则直线.AB有根据线面垂直判定定理两个平面垂直的性质定理：的一点垂直那么经过第一个平面内如果两个平面垂直,.1aaPP,,,:已知.:a求证P.,在第一个平面内于第二个平面的直线bcaPca内作在过点证明Pc,:,bcb直线平面的垂线因为过空间一点作一个,,ba就是于是直线只有一条abb练习2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直αβγa已知：a//α，a⊥β求证：α⊥βb的、为圆上异于是直径内有一个圆平面BACSAAB,,,.3,,FESCSBASCSB、上的射影分别为、在且、一点，连结.;:SABAEFSBCSAC平面平面平面平面求证ABSCFE的两条相交直线垂直平面平面的一条垂线经过平面平面AEFSBAFSBSCBAFSBAEFSAB指出图中的直角三角形?,为什么的平面角是二面角SCAABCS?,为什么的平面角是二面角AEFCSBABCSACSBC的一条垂线经过平面平面4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC=∠BAC=∠BAD=600，求证：平面BCD⊥平面ADCACBDO5、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC⊥平面PDCPABCDMNQ6、已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC⊥平面ABCPABCO