函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用1．若函数yfxxR()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yfx()图象上的是（）A.(())afa，B.(())afa，C.(())afa，D.(())afa，2.已知函数)(1222)(Rxaaxfxx是奇函数，则a的值为（）A．1B．2C．1D．23．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_______．4．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)（2）判断f(x（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.7.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.8.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(yfxfyxf（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式2)31()(xfxf。9.设函数()fx对xR都满足(3)(3)fxfx,且方程()0fx恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）A．
0B．9C．12D．1810.关于x的方程22(28)160xmxm的两个实根1x、2x满足1232xx，则实数m的取值范围11.已知函数()()yfxxR满足(3)(1)fxfx，且x∈[－1,1]时，()||fxx，则()yfx与5logyx的图象交点的个数是()A．3B．4C．5D．612.已知函数()fx满足：4x，则()fx＝1()2x；当4x时()fx＝(1)fx，则2(2log3)f＝A124B112C18D3813.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.14.函数f(x)=111122xxxx的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称15.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1x2),x2,+∞)上单调递增，则b的取值范围是_________.17.已知函数f(x)=ax+12xx(a1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.18.求证函数f(x)=223)1(xx在区间(1，+∞)上是减函数.19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.20.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x－21时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.21.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.22.设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.523.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)0,a的取值范围是()A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)24.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)0的解集为_________.25.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(31),f(32),f(1)的大小关系_________.参考答案6.（1）f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。（2）当0xy时，y/x1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)0。故f单调减。（3）f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f（｜x｜)＜-2=f(9)，且f单调减，所以|x|9x＞9或x＜-97.（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f（x2）＞f(x1).f(x)是R上的增函数.（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集为.13.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴12121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0即f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.14.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C15.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]3434,116.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a0.又知0＜x1＜x,得x1+x20,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）17.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x10,12xxa1且1xa0,∴)1(12112xxxxxaaaa0,又x1+10,x2+10∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是f(x2)－f(x1)=12xxaa[phone]xxxx0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则12000xxax且由0＜0xa＜1得0＜－1200xx＜1,即21＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则1200xx＜－2,0xa＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则1200xx0,0xa0，∴f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.18.证明：∵x≠0,∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设1＜x1＜x2＜+∞,则01111,11121222122xxxx.2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxx∴f(x1)f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.19.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf.).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxf∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=)2(1axf=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.20.证明：设x1＜x2,则x2－x1－21－21,由题意f(x2－x1－21)0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－21)－1=f［(x2－x1)－21］0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.21.解：由66603333332xxxx得且x≠0,故0x6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,综上得2x6,即A={x|2x6},∴B=A∪{x|1≤x≤5}={x|1≤x6},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－21)2－413知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.22.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B23.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴9319113122aaaa∴a∈(22,3).答案：A24.解析：由题意可知：xf(x)＜00)(00)(0xfxxfx或3030)3()(0)3()(0xxxxfxfxfxfx或或∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）25.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f(31)=－f(－31),f(32)=－f(－32),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－31－32－1.∴f(－31)f(－32)f(－1),∴f(31)＜f(32)＜f(1).答案：f(31)＜f(32)＜f(1)