方向导数与梯度

2012年3月15日星期四1返回上页下页目录第七节方向导数与梯度第七章(DirectionalDerivativeandGrads)一、方向导数二、梯度三、小结与思考练习2012年3月15日星期四2返回上页下页目录l),,(zyxP一、方向导数定义若函数),,(zyxfρρfΔ→0lim则称lf∂∂lf∂∂⎜⎝⎛ρ,)()()(222zyxΔ+Δ+Δ=ρ,cosαρ=Δx,cosβρ=Δyγρcos=Δz⎟⎠⎞为函数在点P处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(lim0zyxfzzyyxxf−Δ+Δ+Δ+=→在点),,(zyxP处沿方向l(方向角为γβα,,)存在下列极限:P′=记作2012年3月15日星期四3返回上页下页目录),,(zyxPl则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,ρρflfΔ=∂∂→0limγβαcoscoscoszfyfxflf∂∂+∂∂+∂∂=∂∂,,.l其中是的方向角αβγ证明:由函数),,(zyxf)(ρozzfyyfxxff+Δ∂∂+Δ∂∂+Δ∂∂=Δ()ρ=γβαcoscoscoszfyfxf∂∂+∂∂+∂∂且有)(ρo+在点P可微,得ρP′故γβαcoscoscoszfyfxf∂∂+∂∂+∂∂=定理若函数(,,)fxyz在点(,,)Pxyz可微，2012年3月15日星期四4返回上页下页目录对于二元函数,),(yxf为α,β)的方向导数为ρρ),(),(lim0yxfyyxxflf−Δ+Δ+=∂∂→βαcos),(cos),(yxfyxfyx+=,)()((22yxΔ+Δ=ρ)cos.,cosβραρ=Δ=ΔyxPlxyoxflf∂∂=∂∂特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向xflf∂∂−=∂∂l在点(,)Pxy处沿方向l（方向角0,2βπ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠α时，有,2βπ⎛⎞=π=⎜⎟⎝⎠α时，有2012年3月15日星期四5返回上页下页目录例1求函数3(,)fxyxy=在点(1,2)处沿从点0(1,2)P到点(13,3)P+的方向的方向层数.解:0(3,1)PP=∵0PP∴的方向余弦为3cos,2=α1cos2=β而(,)fxy在点(1,2)处的偏导数为2(1,2)(1,2)36,fxyx∂==∂3(1,2)(1,2)1fxx∂==∂于是,沿0PP=l方向的方向导数为(1,2)3116133222fl∂=⋅+⋅=+∂2012年3月15日星期四6返回上页下页目录例2求函数222(1)2(1)3(2)6uxyz=−+++−−在点(2,0,1)处沿向量(1,2,2)−−的方向导数.解:所给向量的方向余弦为22211cos31(2)(2)α==+−+−22222cos31(2)(2)β−==−+−+−22222cos31(2)(2)γ−==−+−+−而函数u的三个偏导数为2(1)uxx∂=−∂4(1)uyy∂=+∂6(2)uzz∂=−∂在点(2,0,1)处有(2,0,1)2ux∂=∂，(2,0,1)4uy∂=∂，(2,0,1)6uz∂=−∂.得(2,0,1)12224(6)2333ul∂⎛⎞⎛⎞=⋅+⋅−+−⋅−=⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠2012年3月15日星期四7返回上页下页目录二、梯度方向导数公式γβαcoscoscoszfyfxflf∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f变化率最大的方向方向导数取最大值：模:f的最大变化率之值⎟⎠⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎝⎛=zfyfxfG,,)cos,cos,(cos0γβα=l),cos(0lGG=)1(0=l0lGlf⋅=∂∂:G()Glf=∂∂max当0l与G方向一致时，2012年3月15日星期四8返回上页下页目录,fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxP⎟⎠⎞∂∂∂∂⎜⎝⎛=∂∂+∂∂=yfxfjyfixff,grad称为函数f(P)在点P处的梯度⎟⎠⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎝⎛=zfyfxf,,kzfjyfixf∂∂+∂∂+∂∂=记作(gradient),G在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量定义2012年3月15日星期四9返回上页下页目录例3求函数22zxxyy=−+在点(1,2)处的梯度.解:(1,2)(1,2)20,zxyx∂=−=∂∵(1,2)(1,2)23zxyx∂=−+=∂(1,2)3z∴=gradj例4设在空间的原点处放置单位正电荷，则空间各点有电位1(,,)uxyzr=其中222rxyz=++，求任意一点(,,)xyz的梯度.解:xyzrrrr=++grad∵ijk3211()uxyzrrr∴=−++=−gradgradijk2012年3月15日星期四10返回上页下页目录等值线一般地，二元函数(,)zfxy=在几何上表示一张曲面，它与平面zc=（c为常数）的交线L的方程为(,),.zfxyzc=⎧⎨=⎩这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线*L（如右图），*L的方程为(,)fxyc=对于曲线*L上的一切点，已给函数的函数值都是c，所以我们称平面曲线*L为函数(,)zfxy=的等值线.2012年3月15日星期四11返回上页下页目录若xf，yf不同时为零，则等值线(,)fxyc=上任一点000(,)Pxy处的一个单位法向量为00002200001((,),(,))(,)(,)xyxyfxyfxyfxyfxy=+n这表明梯度00(,)fxygrad的方向与等值线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向导数f∂∂n就等于00|(,)|fxygrad于是00(,)ffxy∂=∂gradnn这一关系表明，函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.2012年3月15日星期四12返回上页下页目录等值面设函数(,,)ufxyz=在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点0000(,,)PxyzG∈，000(,,)fxyzgrad000000000(,,)(,,)(,,)xyzfxyzfxyzfxyz=++ijk与二元函数的梯度类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与方向导数取得最大值的方向一致，而它的模就是方向导数的最大值.如果定义曲面(,,)fxyzc=为函数(,,)fxyz的等值面，则可得函数(,,)fxyz在点0000(,,)Pxyz的梯度的方向与过点0P的等值面(,,)fxyzc=在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.2012年3月15日星期四13返回上页下页目录可以证明，梯度具有以下运算性质：若函数()fP，()gP在区域D内各个偏导数都存在，则（1）(()())()()fPgPfPgP+=+gradgradgrad；（2）(())()CfPCfP=gradgrad，C为常数；（3）(()())()()()()fPgPfPgPgPfP=+gradgradgrad.2012年3月15日星期四14返回上页下页目录下面我们简单地介绍数量场与向量场的概念.如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场.（例如温度场、密度场等）.一个数量场可用一个数量函数()fM来确定.如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的向量F(M)，则称在这空间区域G内确定了一个向量场.（例如力场、速度场等）.一个向量场可用一个向量函数()FM来确定，而()()()()MPMQMRM=++Fijk其中()PM，()QM，()RM是点M的数量函数.2012年3月15日星期四15返回上页下页目录梯度场利用场的概念，我们可以说向量函数()fMgrad确定了一个向量场——梯度场，它是由数量场产生的.通常称函数()fM为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.2012年3月15日星期四16返回上页下页目录例５试求数量场mr所产生的梯度场，其中常数0m，222rxyz=++为原点O与点(,,)Mxyz间的距离.解:23,mmrmxxrrxr∂∂⎛⎞=−=−⎜⎟∂∂⎝⎠33mmymmzyrrzrr∂∂⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠：，同理有2mmxyzrrrrr⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠gradijk故如果用re表示与OM同方向的单位向量，则rxyzrrr=++eijk2.rmmrr=−grade因此2012年3月15日星期四17返回上页下页目录例５试求数量场mr所产生的梯度场，其中常数0m，222rxyz=++为原点O与点(,,)Mxyz间的距离.2rmmrr=−grade上式右端在力学上可解释为，位于原点O而质量为m的质点对位于点M而质量为１的质点的引力.这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、与它们的距离平方成反比，这引力的方向由点M指向原点.因此数量场mr的势场即梯度场mrgrad称为引力场，而函数mr称为引力势.2012年3月15日星期四18返回上页下页目录内容小结1.方向导数•三元函数),,(zyxf在点),,(zyxP沿方向l(方向角),,γβα为的方向导数为γβαcoscoscoszfyfxflf∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数),(yxf在点),(yxP),βα的方向导数为βαcoscosyfxflf∂∂+∂∂=∂∂沿方向l(方向角为yfxf∂∂+∂∂=αcosαsin2012年3月15日星期四19返回上页下页目录2.梯度•三元函数),,(zyxf在点),,(zyxP处的梯度为⎟⎠⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎝⎛=zfyfxff,,grad•二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为)),(,),((gradyxfyxffyx=3.关系方向导数存在偏导数存在•可微课本P102“反之,…”）•0gradlflf⋅=∂∂梯度在方向l上的投影.2012年3月15日星期四20返回上页下页目录习题7－71；2；5；7；9课外练习思考练习1.设函数zyxzyxf+=2),,((1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线⎪⎩⎪⎨⎧=−==1232tztytx在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角θ.2012年3月15日星期四21返回上页下页目录,),,(2zyxzyxf+=曲线⎪⎩⎪⎨⎧=−==1232tztytx1.(1)在点)3,4,1(1dd,dd,dd==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ttztytx[])1,1,1(coscoscosγβα⋅+⋅+⋅=∂∂zyxMffflf266=函数沿l的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量解答提示:2012年3月15日星期四22返回上页下页目录)0,1,2(grad)2(=MfMMflfgrad∂∂=1306=1306arccos=∴θ⋅Mfgradlcos=θMfgradl2012年3月15日星期四23返回上页下页目录指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点Axdd)ln(22zyxu++=提示:⎟⎠⎞−⎜⎝⎛=31,32,32}cos,cos,{cos则γβα==∂∂Axu)1ln(+x1=x,21=ydd=∂∂Ayu)11ln(2++y0=y,0=(96考研),)1,2,2(−=AB0ABl=2121=∂∂Azuγβαcoscoscoszuyuxulu∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∴21=2.函数2012年3月15日星期四24返回上页下页目录)ln(222zyxu++=在点)2,2,1(−M处的梯度=Mugrad)2,2,1(,,grad−⎟⎠⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎝⎛=zuyuxuuM解:,222zyxr++=令则=∂∂xu21rx2⋅注意x,y,z具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=rzryrx)2,2,1(92−=)2,2,1(92−(92考研)3.函数