2020江苏高考数学模拟考试

2020江苏高考数学模拟考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1．若函数cos()3yx(0)的最小正周期是，则▲．2．若复数(12)(1)iai是纯虚数，则实数a的值是▲．3．已知平面向量(1,1)a，(2,1)bx，且ab，则实数x▲．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是▲．5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为▲．6．给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面真命题．．．的序号是▲．（写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为▲．8．已知二次函数()fx241axxc的值域是[1,)，则19ac的最小值是▲．9．设函数3()32fxxx，若不等式2(32sin)3fmm对任意R恒成立，则实数m的取值范围为▲．10．若动点(,)Pmn在不等式组2400xyxy表示的平面区域内部及其边界上运动，则1nmtm的取值范围是▲．11．在ABC中，AB边上的中线2CO，若动点P满足221sincos2APABAC()R，则()PAPBPC的最小值是▲．12．设D是函数()yfx定义域内的一个区间，若存在Dx0，使00()fxx，则称0x是()fx的一个“次不动点”，也称()fx在区间D上存在次不动点．若函数25()32fxaxxa在区间开始结束1(1)SSkk2011k1kk0S是否输出S1k（第5题）ABCDD1C1B1A1[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是▲．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i行第j个数表示为ija，例如329a．若445ija，则ij▲．14．若实数,,abc成等差数列，点(1,0)P在动直线0axbyc上的射影为M，点(3,3)N，则线段MN长度的最大值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为,,abc，且2coscoscosaBcBbC．（1）求角B的大小；（2）设向量(cos,cos2)mAA，(12,5)n，求当mn取最大值时，tan()4A的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是直角梯形，90BADADC，2ABAD，CDAD．（1）求证：1BCB是二面角1BACB的平面角；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18．（本小题满分16分）已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点(2,1)M，离心率为32．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点,AB．1357911……（第12题）20070316（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线,MAMB与x轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln2fxaxaxx，其中常数0a．（1）求()fx的单调区间；（2）如果函数(),(),()fxHxgx在公共定义域D上，满足()()()fxHxgx，那么就称()Hx为()fx与()gx的“和谐函数”．设2()4gxxx，求证：当522a时，在区间(0,2]上，函数()fx与()gx的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}na的各项均为正整数，nS为数列{}na的前n项和．（1）若数列{}na是等差数列，且对任意正整数n都有33nnSS成立，求数列{}na的通项公式；（2）对任意正整数n，从集合12{,,,}naaa中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,naaa一起恰好是1至nS全体正整数组成的集合．（i）求12,aa的值；（ii）求数列{}na的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修41：几何证明选讲如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PCPD，求证：PB平分∠ABD．B．选修42：矩阵与变换已知矩阵122Ax的一个特征值为1，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C．选修44：坐标系与参数方程若直线22xtyt（参数Rt）与圆cossinxya（参数[0,2)，a为常数）相切，求a的值．D．选修45：不等式选讲若对于一切实数x，不等式|21||1||||21|xxxa恒成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；（2）X的分布列及X的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}na中，112a，21112nnnaaa(*)nN．（1）求证：3113(,)82a；（2）求证：当3n时，1|2|2nna．2012江苏高考最后一卷试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性．【答案】22．【解析】本题主要考查复数的概念和运算．【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直．【答案】34．【解析】本题主要考查古典概型．【答案】495．【解析】本题主要考查流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系．【答案】（3）（4）7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．【答案】58．【解析】本题主要考查基本不等式．【答案】39．【解析】本题主要考查函数的性质．【答案】(,4)(1,)10．【解析】本题主要考查线性规划．【答案】2[,4]3解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111nmntmm，其中11nm表示(,)Pmn与点(1,1)连线的斜率k，由图可知1[,5]3k，故21[,4]3tk11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．【答案】2解答如下：因为22221sincossincos2APABACAOAC且22sin,cos[0,1]，所以点P在线段OC上，故()2PAPBPCPOPC，设||POt([0,2])t，则2()2(2)(1)24PAPBPCtttt，当1t时取最小值2O1142xy12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．【答案】1(,]2解答如下：由题意，存在[1,4]x，使25()()202gxfxxaxxa．当1x时，使1(1)02g；当1x时，解得2452(1)xax．设245()2(1)xhxx，则由222252'()0(1)xxhxx，得2x或12x（舍去），且()hx在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x时，2451()2(1)2xgxx最大，所以a的取值范围是1(,]2．13．【解析】本题主要考查数列的通项．【答案】34解答如下：可以求得通项221ijaiij，所以221445iij且1ji，从而22444446iiii，解得21i，于是13j，故34ij14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】52解答如下：由题可知动直线0axbyc过定点(1,2)A．设点(,)Mxy，由MPMA可求得点M的轨迹方程为圆:Q22(1)2xy，故线段MN长度的最大值为52QNr二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．解：（1）由题意，2sincossincoscossinABCBCB……………………………………2分所以2sincossin()sin()sinABBCAA.……………………………………3分因为0Ap，所以sin0A¹.所以1cos2B.…………………………………………………………………………………5分因为0Bp，所以3B.…………………………………………………………………6分（2）因为12cos5cos2mnAA……………………………………………………………8分所以2234310cos12cos510(cos)55mnAAA………………………………10分所以当3cos5A时，mn取最大值此时4sin5A（0Ap），于是4tan3A……………………………………………12分所以tan11tan()4tan17AAA……………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：（1）直棱柱1111ABCDABCD中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．……………………2分又∠BAD＝∠ADC＝90°，22ABADCD，∴45CABABC，∴BC⊥AC．……………………………………………5分∴AC平面1BBC，∴AC1BC1BCB是二面角1BACB的平面角．…………………………………………7分（2）存在点P，P为A1B1的中点．…………………………………………………………8分由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝12AB．又∵DC‖AB，DC＝12AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP．………………………………………11分又CB1面ACB1，DP面ACB1，DP‖面ACB1．……………………………12分同理，DP‖面BCB1．…………………………………………………………………14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)xx………………………………………1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时……………………………………………………2分则从甲地到乙地的