三棱锥的外接球问题

1多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。题型一有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12125B.9125C.6125D.3125B2.三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，且22SAACSBBC，4SC，则该球的体积为A2563B323C16D64解析：D3．在四面体SABC中，,2,2ABBCABBCSASC，二面角SACB的余弦值是33，则该四面体外接球的表面积是（）A．86B．6C．24D．6A4.在平面四边形ABCD中，1ABADCD，2BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体'ABCD，使平面'ABD平面BCD，若四面体'ABCD顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A32B3C23D25．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且4222BDAB，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（）A．2B．4C．4D．2试题分析：0ABBD,所以ABBD,因为ABCD为平行四边形,所以,CDBDABCD.因为ABDC为直二面角,所以面ABD面CBD,因为=面ABD面CBDBD,AB面ABD,ABBD,所以AB面CBD.因为BC面CBD,所以ABBC.分析可知三棱锥ABCD的外接球的球心为AC的中点.因为22222222()24ACABBCABCDBDABCD,所以2AC.则三棱锥ABCD的外接球的半径为1,表面积为4.故C正确.6已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，222ABADCD，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．43解：如图，AB2AD1CD1，，，2∴AC2BC2BCAC，，.取AC的中点EAB，的中点O，连结DEOE，，∵当三棱锥体积最大，∴平面DCA平面ACB，OBOAOCOD，OB1即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积：34433R．题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1.在三棱锥ABCD中，6,5ABCDACBDADBC，则该三棱锥的外接球的表面积为____________43|科|2ABCD，，，四点在半径为225的球面上，且5ACBD，41ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积是____________．[来源:学,科,网]【答案】20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥DABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为abc，，，则有2222222254150abacabc，解得4a，3b，5c，所以三棱锥的体积为435－11443532＝20．题型三直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1.已知正三棱锥ABCP，点CBAP,,,都在半径为3的球面上，若PCPBPA,,两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________332．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是________．答案8解析由AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，∴AB→⊥AC→，AD→⊥AC→，AB→⊥AD→，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB2＋AC2＋AD2＝(2＋2)2＝16，即AB2＋AC22＋AB2＋AD22＋AD2＋AC22＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝12(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤12×16，当且仅当AB＝AC＝AD＝433时，S1＋S2＋S3取得最大值8.3．三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC，PAPB，三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．48B．12C．43D．323解析:由题意得：,,PAPBPC两两相互垂直，以,,PAPBPC为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥PABC的外接球，半径为3，表面积为24(3)12，选B．C4.在正三棱锥ABCD中，,EF分别是,ABBC的中点，EFDE，若2BC，则ABCD外接球的表面积为AB2C3D43C5.在正三棱锥SABC中，,MN分别是,SCBC的中点，且MNAM，若侧棱23SA，则正三棱锥SABC外接球的表面积为A12B32C36D487．已知正方形123APPP的边长为4，点,BC分别是边1223,PPPP的中点，沿,AB,BCCA折叠成一个三棱锥PABC（使12,,PP3P重合于点P），则三棱锥PABC的外接球的体积为（）A.24B.68C.64D.4解析：折成的三棱锥PABC如图所示.由题意可知,,PAPBPC两两互相垂直且4,25,22PAPBPCABACBC.设此棱锥外接球的半径r,则22226r.则外接球的体积为34863Vr.故B正确.8.已知,,,,PABCD在球O的表面上，PAABCD，26PA，ABCD是边长为23的正方形，则OAB的面积为____________33题型四过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体PABC,其中ABC是边长为6的等边三角形,PA平面ABC,4PA,则四面体PABC外接球的表面积为________．【答案】64π．【解析】根据已知中底面ABC是边长为6的等边三角形,PA平面ABC,可得此三棱锥外接球,即以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球．因为ABC是边长为6的正三角形,所以ABC的外接圆半径为23r,所以球心到ABC的外接圆圆心的距离为2d,所以球的半径为221244Rrd,所以四面体PABC外接球的表面积为24π64πSR,故应填64π．2.已知三棱锥BCDA中，2CDBDACAB,ADBC2,直线AD底面BCD所成的角是3，则此时三棱锥外接球的体积是()A8B32C324D328选D3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）4A．外接球的半径为33B．表面积为137C．体积为3D．外接球的表面积为4解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为0，半径为x，则，在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OC2，即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以A，C，D都不正确，故选B．题型五平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d，球的半径为R，截面圆的半径为r，则有222rdR1.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中30,24,18ACBCAB，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.1200B.1400C.1600D.18002.已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3CABCAB，则球的体积为.3323.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且32,6BCAB,则棱锥ABCDO的体积为。38C4.高为42的四棱锥ABCDS的底面是边长为1的正方形，点DCBAS....均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为5A42B22C1D2[来源:学5．如图，已知球O是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的内切球，则平面1ACD截球O的截面面积为66连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦,ABCD的长度分别等于27、43，,MN分别为,ABCD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦,ABCD可能相交于点M；②弦,ABCD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为l.其中真命题的个数为3个题型六求锥体的体积1.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为A26B36C23D22C2（2011辽宁理）已知球的直径4SC，,AB是该球面上的两点，3AB，30ASCBSC，则三棱锥SABC的体积为A33B23C3D1（2012新课标）（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）A26B36C23D22【解析】选AABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRr，SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2623d,此棱锥的体积为113262233436ABCVSd方法二：13236ABCVSR排除,,BCDOABCDA1B1C1D1·6B3．三棱锥ABCP中，顶点P在平面ABC上的射影为O,满足0OAOBOC，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，6PA，则此三棱锥体积最大值是（）A．12B．36C．48D．244正四棱锥ABCDS,32SA,当它的体积最大时，它的高为2题型七补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处1.三棱锥ABCP中，PA⊥底面ABC，3PA，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP的体积等于______。32.三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PAABC平面，22PAABa,则该球的体积是332327a3（2015•兴安盟二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为．解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．4（2015•长春四模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为．解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．5（2015•石家庄二模）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．7πC．D．解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．76（2014秋•莱城区校级期末）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由于SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，取AB的中点O，连接OS，OC，则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，