4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线.柱面与锥面都是直纹曲面.单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?因而它们都是直纹曲面.下面我们来证明:这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.我们虽然很弯曲,但是我们都由直线构成,你相信吗?首先考虑单叶双曲面,1222222czbyax（1）cba,,其中为正常数，把（1）改写为,1222222byczax或者.11bybyczaxczax（2）(2)与(1)等价吗?等价!.11bybyczaxczax（2）现在引进不等于零的参数u,将上述方程写为:1.1xzyacbyxzbac改写为:(2)/111xzyuacbxzyacub(3)(3)与(2)等价吗?不等价!对于给定的u,(3)表示什么曲线?直线;01,0byczax（4）与.01,0byczax（4）/考虑到(3)与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组.11bybyczaxczax（2）1.1xzyacbyxzbac(2)/,1222222czbyax(1)111xzyuacbxzyacub(3)111xzyuacbxzyacub也就是说(3)与;01,0byczax（4）.01,0byczax（4）/合起来与单叶双曲面(1)的方程等价.把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的(4)与(4)/仍然表示直线u族直线.方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数和时的两种极限情形.0uu111xzyuacbxzyacub(3);01,0byczax（4）.01,0byczax（4）/我们是u族直线家族成员现在来证明由这族直线可以构成曲面(1)，从而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。u首先容易知道，都在曲面(1)上.u族直线中任何一条直线上的点111xzyuacbxzyacub;01,0byczax.01,0byczax.11bybyczaxczax,1222222czbyax（1）u族直线满足于满足于这是因为反过来，设是曲面(1)上的点.),,(000zyx下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上.只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.是曲面(1)上的点.),,(000zyx所以满足单叶双曲面方程2220002221,xyzabc即.11000000bybyczaxczax（5）.11000000bybyczaxczax（5）因此不失一般性，by01by01假设010by000czaxu,1000byuczax显然与不能同时为零.?????如果那么取的值使得由(5)便得,11000byuczax所以点在u直线上.111xzyuacbxzyacub000czax010by所以点也在u直线上.),,(000zyx而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线，称为u族直母线.11000000bybyczaxczax（5）如果那么由(5)知必有这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.同样可以证明由直线)1(1),1(byvczaxbyvczax（6）(其中为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与(6)中当和的情形)0vv,01,0byczax（7）01,0byczax与(7)/合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.1222222czbyax直纹面在建筑学上有意义含两族直母线例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的..单叶双曲面是直纹面推论对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u族直母线写成()(1),()(1),xzywuacbxzyuwacb（4.7-1）其中不同时为零。当时，各式除以式子就化为(3)；当时便化成(4)；当时便化成(4`).wu,0,0wu)17.4(,w0u0w111xzyuacbxzyacub(3)),1()(),1()(bytczaxvbyvczaxt（4.7-2）其中不同时为零.tv,对于双曲抛物面,22222zbyax而v族直母线写成同样地可以证明它也有两族直母线它们的方程分别是,)(,2zbyaxuubyax(4.7-3).)(,2zbyaxvvbyax（4.7-4）与分别称为u族和v族直母线.22222xyzab含两族直母线双曲抛物面是直纹面也有下面的推论：推论对于双曲面与抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这一点.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面的一些性质：定理4.7.1单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面.证:单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:111xzyuacbxzyacub)1(1),1(byvczaxbyvczax这两条直线共面的充分必要条件是(看p137,例3)四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.tvtvvtvtwuwuuwuwabctcvbtavvctbvatwcubwauucwbuaw1tvvtuwuwabctvvtvtwuwuwwabc00000000400004tvvtuwuwabctvvtvtwuwuwwabc000000004000040)(4twuvwvutabc所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.定理4.7.2单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.另外,还有下面的定理.例求过单叶双曲面上的点（6,2,8）的直母线方程。11649222zyx解单叶双曲面的两族直线方程是11649222zyx);21()43(),21()43(ywzxuyuzxw与).21()43(),21()43(ytzxvyvzxt把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得2:1:uw与,0t代入直母线族方程，得过(6,2,8)得两条直母线分别为;21)43(2),21(243yzxyzx与,043,021zxy即;06334,0243124zyxzyx与.034,02zxy思考与练习:第180页.1.3.作业:第180页.2.6.