2013高一数学必修1教师用书：第二章 §3 函数的单调性(北师大版)

第二章函数理解教材新知§3函数的单调性把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二给定了几个函数的图像问题1：从图像上升或下降的角度，你能描述一下上面几个函数的变化规律吗？提示：(1)中，从左向右是上升的．(2)中，从左向右在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．(3)中，从左向右上升→下降→上升．问题2：以上几个图像的升与降反映了函数值y与自变量x怎样的变化规律？提示：在上升部分的图像上，y随x的增大而增大，在下降部分的图像上，y随x的增大而减小．对于函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A，(1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是．(2)如果对于两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是．f(x1)f(x2)递增的任意f(x1)f(x2)递减的函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下：问题：该函数的图像在哪些区间上呈上升趋势？在哪些区间上呈下降趋势？提示：在区间[－3，－2]，[2,3]上呈上升趋势，在区间[－2,2]上呈下降趋势．1．单调性如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为；如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．2．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，分别称这个函数为或，统称为单调函数．单调区间增函数减函数1．单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间．3．单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)⇔x1x2(x1x2)．4．并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．[例1]证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．[思路点拨]在(0,1)上任取x1、x2且x1x2，只需证明f(x1)f(x2)[精解详析]设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋1x1)－(x2＋1x2)＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)(1－1x1x2)已知0x1x21，则x1x2－10，x1－x20.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．＝x1－x2x1x2－1x1x2.[一点通]用定义判断或证明单调性的步骤：(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1x2.(2)作差变形：计算f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方和)．(3)定号：确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论．(4)判断：根据f(x2)－f(x1)的符号及定义判断函数的单调性．1．本例中，“函数f(x)＝x＋1x”不变，讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性．解：设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋1x1)－(x2＋1x2)＝(x1－x2)(1－1x1x2)．①当0x1x2≤1时，x1－x20,1－1x1x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)＝x＋1x在(0,1]上是减函数．②当1x1x2时，x1－x20,1－1x1x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数．2．利用单调性的定义证明函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．证明：法一：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1x20，∴x2－x10，x1＋x20，x21x220.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．法二：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则fx1fx2＝1x211x22＝x22x21，∵x1x20，∴x1－x20，x1＋x20.∴(x1－x2)(x1＋x2)0，即x21－x220.∴x21x220.∴x22x211.∴fx1fx21，又∵f(x2)＝1x220，∴f(x1)f(x2)．∴f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数.[例2]画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．[思路点拨]只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．[精解详析]y＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3＝－x－12＋4，x≥0，－x2－2x＋3＝－x＋12＋4，x0.函数图像如图所示．函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．[一点通]利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接．3．函数y＝|x|(1－x)的单调增区间为________．解析：y＝|x|(1－x)＝－x－122＋14x≥0，x－122－14x＜0.如右图，原函数在[0，12]上递增．答案：[0，12]4．已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的单调区间．解：f(x)＝|x2－x－12|＝x－122－494.如图，作出函数的简图观察其图像，知函数f(x)的单调递增区间为－3，12和[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3]和12，4.[例3]已知f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．[思路点拨]利用函数单调性的定义，算出f(x2)－f(x1)后，通过差的符号确定a的取值范围．[精解详析]任设－2x1x2，则f(x2)－f(x1)＝ax2＋1x2＋2－ax1＋1x1＋2＝ax2x1＋2ax2＋x1＋2－ax1x2－x2－2ax1－2x2＋2x1＋2＝x1－x21－2ax1＋2x2＋2.∵－2x1x2，∴x2－x10，x1＋20，x2＋20.∵f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，∴f(x2)－f(x1)0.∴1－2a0，∴a12.[一点通]函数单调性的应用比较广泛，主要有：(1)求参数的范围；(2)解不等式；(3)比较大小．解题时，注意分类讨论和数形结合思想的应用.5．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则()A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)C．f(a2－1)f(a)D．f(a2＋1)f(a)解析：∵a2＋1－a＝(a－12)2＋340，∴a2＋1a.∴f(a2＋1)f(a)．答案：D6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)＝________.解析：∵函数f(x)在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，∴x＝－b2a＝m4＝－2，∴m＝－8，故f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝13.答案：137．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.1．基本初等函数的单调性：(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)：当a0时，在(－∞，＋∞)上是增函数；当a0时，在(－∞，＋∞)上是减函数．(2)反比例函数y＝kx(k≠0)：当k0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数；当k0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．(3)y＝a(x－m)2＋n，a0时单调减区间为(－∞，m]，单调增区间为[m，＋∞)；a0时单调增区间为(－∞，m]，单调减区间为[m，＋∞)．(4)函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．2．判断函数单调性的方法：①定义法；②图像法．3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可．点击下列图片进入应用创新演练