第一章_周期结构概要

Chapter1PeriodicStructure1.CrystalLatticeandReciprocalLatticeThemostimportantcharacteristicsofCrystals:PeriodicArrayofAtoms（ions,Molecules)------LatticeAnylatticepointinthearraycanberepresentedbythelatticevector332211alalalRll1,l2,l3arearbitraryintegers，a1,a2,a3arethelatticeprimitivevectors（orfundamentaltranslationvectors）a1a2Theprimitivecellsandvectorsina2DlatticeCell：Thesmallestunitinthelattice,whichcanserveasabuildingblockforthecrystalstructure.1．由a1,a2,a3组成的平行六面体iscalledasPrimitiveCell。2．Eachcellcontainsonlyonelatticesite。3．Thechoseofthecellandprimitivevectorisnotunique。Thecell’svolume:：)(321aaaWigner-sietzcell（W-Scell）它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面所围成的多面体，其中只包含一个结点。它能更明显地反映点阵的对称性。它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。a1a2二维六角点阵的魏格纳-赛茨元胞（W-S原胞）立方体截角八面体棱十二面体简单立方（SC）、体心立方（BC）和面心立方点阵（FC）的W-S元胞SCBCFC倒格矢由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的：)3,2,1,((0)(22jijijibaijii）)(2)(2)(2213132321aabaabaab可求出：在倒点阵中任一格点的位置矢：332211bnbnbnKn（ni为整数）称为倒格矢。)(321*bbb元胞的体积：布里渊区相应的W-S元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可由另一点加上一个倒格矢的平移达到。当它的中心为原点时，W-S元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ表示，又称简约区倒点阵与正点阵的关系mlnRKiiiln22)2(*33m为整数BZ具有晶格点阵点群的全部对称性。2.平移对称性点阵是格点在空间中的无限周期性重复排列；点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状；即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上实际的晶体有界面，但体的尺寸比界面大107~108个数量级因而，界面几乎不影响体的物理特性，与边界条件的选择无关。波恩-卡门边界条件严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性；实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；边长为Na1,Na2,Na3的有限晶体沿a1,a2,a3三个方向首尾相接形成循环边界条件。N-3N-2N-1N123波恩-卡门循环边界条件波恩-卡门循环边界条件在数学上表现为：0|||1EaNEaNEiiiillllRrrRERrrRE1||----平移算符)()|()(|1RrfrREfrfREll对于元胞数为N=N1N2N3的晶体，共有N个平移算符组成平移群lRE|(1)任意两次相继的平移仍为一平移；相继两次平移的效果与它们作用的先后次序无关。(2)满足乘法结合律(3)存在逆元素。(4)存在恒等操作0|E3.布洛赫定理对于N（N=N1N2N3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时，具有平移对称性：由于N阶平移群的每个元素本身自成一个共轭类mlmlRERERERE||||1因此，平移群有N个不可约表示NnN12说明平移群的N个不可约表示都是一维的)()|()()|()(|1raEDarraEraEjjjj)(r是一维表示的基函数。D是表示一维矩阵，实际上是一个数。)()(0|)(|)(1rrEraNErDjjNjj=1,2,3)2exp(,1jjNNniDDj其中nj=0,1,2,…由此可得：)()/(2exp)()()(|313322111rNnlialalalrRrrREjjjjl在倒逆空间中定义一个波矢31jjjjbNnk)()()(|1reRrrRElRkilkkl布洛赫定理D定义的k可作为平移群不可约表示的标记。以上方程可理解为平移算符的本征方程，exp(ikRl)是它的k个本征值。进一步可得)()(rerurki)()]([)(reRrerkilkRrikl如果令可得)()(ruRruklk是正点阵的周期函数布洛赫函数)exp()()(rkirurkk布洛赫函数是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期性结构中的波函数都应具有布洛赫函数的形式。k的非唯一性问题nKkk'那么)exp()'exp(llRkiRki第一布里渊区：任意两个波矢之差小于一个最短的倒格矢的区域。限于第一布里渊区（BZ）的波矢叫简约波矢，简约区体积为*，其中有N个不同的波矢，它们可以唯一地标记平移群的N个不可约表示。iak(i=1,2,3)(K=0的对称多面体，W-S元胞)固体物理学的几个关系1.平移群不可约表示的正交关系lRkklNRkki'])'(exp[2.平移群特征标的正交关系slRRBZkslNRRk)](exp[普遍适用于周期结构中的电子、声子和自旋波等3.求和与积分关系相邻k值的间距iiiNbk(i=1,2,3)每一许可k值所占的体积为VNNNNkkk33321321)2()2(*)(k空间单位体积内的有个不同的波矢V为晶体体积3)2(V求和变积分：(...))2((....)33kdVk由于晶格结构的周期性，其哈密顿量H与平移算符对易，两者具有共同的本征函数布洛赫函数)exp()()(rkirurkk在单电子问题中，晶体中一个电子的运动状态可由布洛赫函数描述：)()()(rkErHkk)()()(rukEruHkkkkmimkHHk2222相当作一正则变换由于)()(ruRruklk可简化为在一正点阵的一个元胞中求解有无穷多个分立的本证值)(kEn因此，晶体中单电子能量是k的多值函数每一个确定的k描述一套能级和状态)(kEn)(,rkn由于)()(,,kEKkEnnnknKknn在BZ外布洛赫函数无新态k限于BZ，是取以k=0为中心的W-S元胞由于确定n值的是倒点阵的周期函数，必有能量的上界和下界)(kEn不同k同一n的所有能级包括在界内，组成一能带。不同的n代表不同的能带，它们的总体称为晶体的带结构。能带存在的结论来自布洛赫函数的振幅是正点阵的周期函数这一普遍性特征。周期结构中一切波的能（频）谱都成带4.布里渊区和晶体的对称性空间群包含平移、旋转、反射、滑移反映、螺旋轴等对称操作空间群算符操作：trt|代表旋转、反映等点群对称操作，t代表平移。lRE|---平移群0|---点群|----螺旋轴或滑移反映面算符相乘：tsst|||逆：tt111||晶体空间群的定义：包括平移群作为不变子群的t|元素集合llREtREt||||1这就限制了晶体中只可能出现2、3、4、6次旋转轴，使晶体空间群成为有限群不变子群条件要求lR仍为正格矢，即点阵经旋转等点群操作后应与自身重合，（1）布里渊区（BZ）中En(k)的对称性t|t|设晶体属于空间群，则晶体的哈密顿H应与对易，即H对于空间群的一切操作是不变的，有对称性：t|HtHt||1可以证明：1||)(|)(2,][,rtrknkn可求出)()()()(||)()()()(3,*,3,1*,3][,*][,kErdrHrrdrtHtrrdrHrkEnknknknknknknn只是属于该晶体空间群的点群操作。在每一能带中如果把能量En(k)看作布里渊区中“位置”的函数，它便具有点阵点群的全部对称性，此即简单空间群中En(k)的对称性。0|例如：二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个，4mm标记。对于BZ中矢量k1施于上述点群操作后，它变为k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8.这8个点在同一能带中有相同的能量。Kx/a-/a/a-/ak1k2k6k7k5k4k3k8mxmymdmd’C4C42C43E二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个)(...)()(821kEkEkEnnn（2.）En(k)的简并度)()()(rkErHkk简并：同一k不同态具有相同能量本征值。简并度：设在k点第n个能量本征值的简并度为dn,则有dn个布洛赫函数对应于同一个能量),...,2,1)((,,njkndjr)(kEn这种情况往往发生在BZ中某些高对称性的点与线上。这时点群中的某些元素对k运算后保持k不变（或等于k+Kn），但这些元素对布洛赫函数作用将产生具有不同对称性的一组函数，它们具有相同的k和本征能量)(kEnK波矢群：0|点群中对k运算后保持k不变（或等于k+Kn）的那些对称操作元素的集合所构成的点群nKkkk波矢群不可约表示的维数等于k点能级的简并度dn.例如：二维正方点阵的波矢群（i）点：k=0的波矢群即点群4mm；这个群可分为5个共轭元素类',,,,,,,34424ddyxmmmmCCCE因此，有5个不可约表示，这些表示的维数n应满足5128nKxKy/a-/a-/a二维正点阵BZ中高对称性的点与线MX∑∆Z82111122222)0(nE其解只可能有：说明波矢群有4个一维和1个两维的不可约表示，即4种单重态和1种双重态，在点可能有两重简并发生。（ii）M点M点波矢经4mm所有群元作用后仍在四角顶点上，波矢群也为4mm，可能有两重简并发生。（iii)X点X波矢群应由E，mx,my,C42等4个元素组成。这个群中各个元素自成一个共轭类，因此，有4个一维的不可约表示，说明在X点能带为非简并的。Z,,)(kEn在点以及BZ中的一般k点均为非简并的对于三维晶格，点群品格表中恒等元素E的特征标将告知波矢群的不可约表示的维数，从而得知的简并度。)(kEn（3）时间反演对称性时间反演是改变时间符号（）的对称操作。tt无磁场时薛定谔方程对时间反演操作具有不变性；经典力学的方程也具有时间反演不变性。^^,,sskkrr自旋反向时间反演操作：),(rkn),(rkn布洛赫函数的时间反演态为量子力学已经证明时间反演对称性要求上述两态满足同一个H本征方程，并