数系的扩充与复数的概念资料

数系的扩充复数的概念数系的扩充与复数的概念数系的扩充复数的概念数系的扩充自然数整数有理数实数NZQR用图形表示包含关系：复习回顾？数系的扩充复数的概念请分别在我们学过的整数集、有理数集、实数集中解下列方程。153)1x4)22x2)32x1)42x4343无解2222无解无解无解无解无解数系的扩充复数的概念知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足数系的扩充复数的概念现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。数系的扩充复数的概念思考:对于实数b（b≠0）与虚数单位i相乘，得bi.提问：bi为什么不是实数？而是一个新数？形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.不是实数。所以，时，因当bibibbib0)(02222数系的扩充复数的概念实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位i复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR数系的扩充复数的概念1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。72618.0i725-8，i29331i223ii102、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数数系的扩充复数的概念例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m关健是什么？找准复数的实部与虚部，根据复数的分类列出方程或不等式组。数系的扩充复数的概念练1.实数m取什么值时，复数z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i(1)是实数？(2)纯虚数？(3)零？解：(1)当m2-5m-6=0时，即m=6或m=-1时，z为实数(2)当时，m2-3m-4=0m2-5m-60即m=4时，z为纯虚数(3)当时，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即m=-1时，z为零数系的扩充复数的概念注意:两个实数可以比较大小。但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小。例如1+i与3+5i就不能比较大小。两个复数能比较大小吗？数系的扩充复数的概念例2已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：根据复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca数系的扩充复数的概念2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求实数x的值.i1、若x，y为实数，且求x，y的值；2224xyxyii数系的扩充复数的概念1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbca数系的扩充复数的概念*Znni424ni34ni14ni1-1iiB数系的扩充复数的概念数因需要而发展{有理数}={分数}={循环小数}{实数}={小数}数系的扩充复数的概念负数在古代人看来，没有就表示最少了，最少就用“零”表示，没有比零更小的数了，可是负数不但表示没有，而且意味着比没有还要少，这是怎么回事呢？中国人认识负数比世界上任何一个国家的民族都要早得多.我国在西汉时代就会用负数，当时的人用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数.系统地论述负数，我国也是世界上最早的.在东汉初编成的《九章算术》内，就已记载了正、负数的相反意义，还提出了正、负数的加减法则.“较大数与较小数的比可能等于较小数与较大数的比吗?直到17世纪,法国数学家笛卡儿引进坐标系后,负数获得了几何解释,负数在方程中去得了合理地位.数系的扩充复数的概念无理数公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的.这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机.数系的扩充复数的概念无理数15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。数系的扩充复数的概念“复数”、“虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的。为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题。1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根，1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。