【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆课件 文

◆专题六解析几何第1讲直线与圆考向分析核心整合热点精讲考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ圆的方程及应用20(1)20(1)20(2)直线与圆、圆与圆的位置关系20(2)201220真题导航1.(2014福建卷,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()(A)x+y-2=0(B)x-y+2=0(C)x+y-3=0(D)x-y+3=0解析:依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-0,即x-y+3=0.故选D.D2.(2014湖南卷,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于()(A)21(B)19(C)9(D)-11C解析:圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=25m,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+25m=5,所以m=9.故选C.3.(2015新课标全国卷Ⅱ,文7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()(A)53(B)213(C)253(D)43解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以10,330,7230,DFEFDEF所以2,43,31,DEF所以△ABC外接圆的圆心为(1,233),故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为2231()3=213.B4.(2015新课标全国卷Ⅰ,文20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以22311kk1.解得473k473.所以k的取值范围为(473,473).(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,所以x1+x2=24(1)1kk,x1x2=271k.OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=24(1)1kkk+8.由题设可得24(1)1kkk+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.备考指要1.怎么考高考对直线与圆这部分内容主要考查圆的方程及应用、直线与圆的位置关系,而对直线的倾斜角和斜率、直线的方程、两直线的平行与垂直、点到直线的距离等一般很少单独考查,有时融入到解答题中做为题目的一部分信息出现.2.怎么办复习本讲时要注重基础知识、基本方法的巩固;求直线的方程主要用待定系数法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时,应特别注意斜率存在和不存在的两种情形;求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练掌握,还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算.核心整合1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式121yyyy=121xxxx不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式xa+yb=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用y-y0=k(x-x0)y=kx+bAx+By+C=0(A2+B2≠0)2.直线的两种位置关系(1)两直线平行①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔.②对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔.(2)两直线垂直①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔.②对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔.k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0k1·k2=-1A1A2+B1B2=03.三种距离公式(1)点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离:|AB|=222121()()xxyy.(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:d=0022AxByCAB.(3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为d=2122CCAB.温馨提示运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程:,其中为圆心,为半径.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是,其中圆心为(,)22DE,半径r=2242DEF.(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(a,b)rD2+E2-4F05.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系.(2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,根据圆心距离与半径之和差的关系判断两圆的位置关系.热点精讲热点一直线的方程及应用【例1】(1)(2015辽宁师大附中模拟)经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为()(A)x+2y-6=0(B)2x+y-6=0(C)x-2y+7=0(D)x-2y-7=0解析:(1)设直线的方程为xa+yb=1,过点(1,4),则有1a+4b=1,而截距之和为a+b=(a+b)·(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+24baab=9,当且仅当ba=4ab,即b=2a=6时,等号成立,所以直线方程为3x+6y=1,即2x+y-6=0.故选B.(2)(2015河北模拟)设a∈R,则“a=-2”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(2)若a=-2,则直线l1:-2x+2y-1=0与直线l2:x-y+4=0平行,若“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”,则1a=21a≠14,解得a=-2或a=1,所以“a=-2”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.故选A.方法技巧求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.举一反三11:(1)(2015云南统考)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段的中点为P(0,10a),则线段AB的长为()(A)11(B)10(C)9(D)8解析:(1)依题意,a=2,P(0,5),由20,20,xyxy得0,0,xy即互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0相交于点O(0,0),于是|AB|=2|OP|=10.故选B.解析:(2)由题意可知直线l方程为xa+yb=1(a0,b0),于是221,1()8,2abab解得-a=b=4,故满足条件的直线l一共有1条.故选C.(2)(2015江西九江二模)过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有()(A)3条(B)2条(C)1条(D)0条热点二圆的方程及应用【例2】(1)(2015银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()(A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10x=0(D)x2+y2-10x=0(2)(2014陕西卷)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.解析:(1)由题意设圆心为(0,b)(b0),半径为r,则r=b,所以圆的方程为x2+(y-b)2=b2,因为点(3,1)在圆上,所以9+(1-b)2=b2,解得b=5,所以圆的方程为x2+y2-10y=0.故选B.(2)因为点(1,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆心为(0,1),半径为1,于是圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:(1)B(2)x2+(y-1)2=1方法技巧常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程.如果给定的条件易求圆心坐标和半径长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,常选用一般方程求解.举一反三2-1:(1)抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,B两点,其准线与x轴的交点为M,则过M,A,B三点的圆的标准方程是()(A)x2+y2=5(B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2(D)(x-1)2+y2=4解析:(1)由抛物线方程及题意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以250,250,10,DEFDEFDF解得2,0,3.DEF从而所求方程为x2+y2-2x-3=0,即圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.故选D.答案:(1)D已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.解析:(2)设所求圆的半径是r,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d=22403124(3)=1,则r2=d2+(2AB)2=10,故圆C的方程是x2+(y-1)2=10.答案:(2)x2+(y-1)2=10(2)(2015河南模拟)热点三直线与圆、圆与圆的位置关系解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为223(1)t=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.【例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;解:(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组220,(3)(1)9.xyaxy消去y,得方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,Δ=56-16a-4a20.因此x1,2=2(82)561644aaa,从而x1+x2=4-a,x1x2=2212aa.①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,满足Δ0,故a=-1.(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.方法技巧讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现,两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.举一反三3-1:(1)(2015太原市模拟)已知点A(-a,0),B(a,0),若圆(x-3)2+(y-4)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则正数a的取值范围为()(A)[4,6](B)[5,6](C)[4,5