正弦定理和余弦定理(2)公开课

问题一：三角形中的边角运算（第一课时已讲）问题二：三角形的形状判断问题三：三角形的面积求解(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R（其中R为该三角形外接圆的半径）(2)常见变形公式：2sinaRAsin2aAR::sin:sin:sinabcABC（角化边）（边化角）（比例）复习回顾（1）余弦定理：2222222cos2cosbcacaBcababC(2)常见变形公式：222cos2bcaAbc2222cosabcbcA每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）(边角互化，求角,判别角)练习1(1).在△ABC中，acosA＝bcosB，判断三角形的形状。(2).在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能三角形的形状判断2222536641cos0225620abcCabC思路：转化成单一的角关系或边长的关系在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路分析】(1)把角的三角函数化为边，(2)把边化为角的三角函数．例3考点【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．互动探究若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．解：由sinC＝2sin(B＋C)cosB，得sinC＝2sinAcosB.再结合正、余弦定理得：c2R＝2·a2R·a2＋c2－b22ac，整理得a2＝b2，所以△ABC是等腰三角形．练习：2．(2012•温州模拟)已知在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形A三角形的面积求解12ABCS底高BacAbcCabSABCsin21sin21sin211()(2ABCSabcrr是该三角形内切圆半径）0120,5,7,ABCAABBCABC在中，求的面积。练习3在△ABC中,A、B、C分别为三个内角,a、b、c分别为三个内角的对边,例4已知22(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC外接圆的半径为2.(1)求角C;(2)求△ABC的面积S的最大值．考点5．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为12，那么b＝________.答案：3＋33解析：由题意，得2b＝a＋c，12ac·12＝12，故ac＝2，∴a2＋c2＝4b2－4，又∵b2＝a2＋c2－2ac·32，∴b2＝4＋233，∴b＝3＋33.练习222.ABCA,B,Ca,b,c,b,ACAB=4,ABCcaab4在中，角的对边分别是若且则的面积等于（）课时闯关B组86.3()12=3ABCABCABCABCABACSSABCABCSauuuruuuuur在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且其中为的面积（）求sinA的值（）若b=2,的面积，求的值解：8,3ABCABACSuuuruuuuurQ81cossin,32bcAbcAsin3tan,cos4AAA22sincos1,(0,),AAA又3sin5A11332sin2,2255ABCSbcAcc（）5c33sin,tan,54AAQ4cos,5A2222cos13,abcbcA13a小结熟记:正、余弦定理及其变形，三角形面积公式，合理采用公式（求边、角、面积、判断三角形形状等）活用：灵活运用定理，实现边角转化（判别三角形形状等）注重：转化思想