椭圆的定义与标准方程

引例：若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆222)()(rbyax探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？思考：如何定义椭圆？F1F2xy0p♦如何定义椭圆?圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.1、椭圆的定义：1F2FM平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。cFF221为椭圆时,022ca2aMFMF21•[3]常数要大于焦距•[2]动点M与两个定点F1和F2的距离的和是常数•[1]平面内----这是大前提1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？回忆圆标准方程推导步骤♦求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;2、写出适合条件P（M）;3、用坐标表示条件P（M），列出方程;4、化方程为最简形式。结论：若把绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).（1）当2a2c时，轨迹是；（2）当2a=2c时，轨迹是；（3）当2a2c时，；♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)xF1F2Ｐ(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c)（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程aycxycxx2)()(2222轴　　焦点在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay♦椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO三、例题分析543(-3,0)、(3,0)6x例1.已知椭圆方程为,则(1)a=,b=,c=;(2)焦点在轴上,其焦点坐标为,焦距为。(3)若椭圆方程为,其焦点坐标为.2212516xy1251622yx(0,3)、(0,-3)例2.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。14)1(22yx154)2(22yx434)3(22yx解：椭圆方程具有形式12222byax其中1,2ba因此31422bac两焦点坐标为)0,3(),0,3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42a例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求ba,椭圆的定义a2=b2+c2例2.　已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0），53（2，0）并且经过点（，-），求它的标准方程.222222解:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为xy+=1(ab0).ab2222222由椭圆的定义知53532a=+2+-+-2+-=2102222所以a=10.又因为c=2,所以b=a-c=10-4=6.2222因此，所求椭圆的标准方程为xy+=1.106求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.111变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A(,)、B(0,-)的332椭圆的标准方程.222222yx解：设所求椭圆的方程为+=1,ab111将A(,),B(0,-)代入得：332221133+=122ab,21-2=12a12a=,4解得：12b=.5yx故所求椭圆的标准方程为+=1.1145？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？22xy例3.若+=1,表示焦点在x轴上的椭圆，则mnm,n满足什么条件，并指出焦点坐标.22xy解：若+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则mnmn0,且c=m-n,所以，焦点坐标为(m-n,0),(-m-n,0).22变式引申:⑴若焦点在y轴上；⑵如果不指明在哪个坐标轴上；⑶若mx+ny=1表示椭圆，m,n应满足什么条件.22(3)若mx+ny=1表示椭圆,则m0,n0且m≠n,当mn0，表示焦点在y轴上的椭圆；当nm0，表示焦点在x轴上的椭圆.22xy解：(1)若+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则mnnm0,且c=n-m,所以，焦点坐标为(0,n-m),(0,-n-m).22xy(2)若+=1表示椭圆,则m0,n0且m≠n.mn例3已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程35(,)(3,5)22与221(0,0,)xymnmnmn1)5()3(1)25()23(2222nmnm10,6nm奎屯王新敞新疆221610xy解：设椭圆的标准方程则有，解得所以，所求椭圆的标准方程为22分析：点P在圆x+y=4上运动,点P的运动引起点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.22例4.在圆x+y=4上任取一个点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?000022002200002222解:设点Ｍ的坐标为(x,y),点Ｐ的坐标为(x,y),则yx=x,y=.2因为点Ｐ(x,y)在圆x+y=4上，所以x+y=4.①把x=x,y=2y代入方程①,得x+4y=4,即x+y=1.4所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆..22变式引申：已知圆x+y=9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP，点M在PP上,并且PM=2MP,求点M的轨迹0000000000022002222解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x,y)，则点P的坐标为(x,0).由PM=2MP得：(x-x,y-y)=2(x-x,-y)，即x-x=2(x-x),y-y=2(-y)即x=x,y=3y.∵P(x,y)在圆x+y=9上,代入得x+9y=9，x即+y=1,∴点M的轨迹是一个椭圆.9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+==+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（）23(A)6(B)3(C)35(D)652.、是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（）(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段3.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（）(A)(B)37(C)5(D)变式题组一2149xkyykxymmxyFF¥¥+=22222121.如果方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）(A)（0，+）(B)（0，2）(C)（1，+）(D)（0，1）2.椭圆+=1的焦距是2，则实数的值是（）4(A)5(B)8(C)3或5(D)33.已知、是椭圆的251FABABFD2两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为（）(A)86(B)20(C)24(D)28变式题组二1、方程10332222yxyx表示________。2、方程表示________。6332222yxyx10332222yxyx3、方程表示________。4、方程的解是________。10434322xx2212xy1.如果椭圆+=1上一点P到焦点F的距离等于6，那么点P到10036另一焦点F的距离是（）.22xy2.椭圆+=1的焦点坐标是().m-2m+5A.(7,0)B.(0,7)C.(7,0)D.(0,7)22222222533.两个焦点的坐标是(-2,0),(2,0),且经过点P(,-)的椭圆方程22是().xyyxA.+=1B.+=1106106xyyxC.+=1D.+=19696巩固练习14DD22xy4.椭圆+=1的焦距是2().m4A.5A.5或8C.3或5D.20222111xy5.已知经过椭圆+=1的右焦点F作垂直于x轴2516的直线AB,交椭圆于A,B两点，F是椭圆的左焦点.(1)求△AFB的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，△AFB的周长有变化吗？为什么？C一、二、二、三一个概念；二个方程；三个意识：求美意识，求简意识，猜想的意识。二个方法：去根号的方法；求标准方程的方法|MF1|+|MF2|=2a1byax22220ba1bxay2222反思总结提高素质标准方程图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判定共同点不同点椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.b2=a2–c2椭圆的两种标准方程中，总是a＞b＞0.所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.22221(0)xyabab+=22221(0)yxabab+=xyoxyo