4.1 不定积分概念和第一类换元法

第四章微分法:?)(xF求积分法:?)(xF求互逆运算不定积分,)(xF已知已知F(x),第四章不定积分暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章不定积分暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x),满足在区间I上的一个则称F(x)为f(x)如引例中,tmAsin的一个原函数为.costmA暨南大学珠海学院苏保河主讲原函数.问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.的原函数存在.(下章证明)因为初等函数在定义区间上连续，所以初等函数在定义区间上有原函数暨南大学珠海学院苏保河主讲定理2一个原函数都可记为(C为任意常数).证又知])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故CxFx)()()(为某个常数C即.)()(CxFx即暨南大学珠海学院苏保河主讲CxFx)()(定义2在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C又称为积分常数不可丢!例如,xexdCexxxd2Cx331xxdsinCxcos记作注暨南大学珠海学院苏保河主讲不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x的积分曲线.暨南大学珠海学院苏保河主讲例1设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为.12xyyxo)2,1(暨南大学珠海学院苏保河主讲12xyxdd)1(xxfd)()(xf二、基本积分表注从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xFxkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x)1(])ln([)ln(xxx1暨南大学珠海学院苏保河主讲21d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot暨南大学珠海学院苏保河主讲xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cxshxxdsh)14(2chxxeex暨南大学珠海学院苏保河主讲例2求解原式=xxd34134Cx313例3求解原式=xxdsinCxcos134xC暨南大学珠海学院苏保河主讲三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论xxfkxxfkiniiniiid)(d)(11xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k暨南大学珠海学院苏保河主讲例4求解原式=xexxd)25)2[()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C暨南大学珠海学院苏保河主讲例5求解原式=xxd)1(sec2xxxddsec2.tanCxx例6求解原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctan.lnCx暨南大学珠海学院苏保河主讲例7求.d124xxx解原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxx.arctan313Cxxx暨南大学珠海学院苏保河主讲第二节第一类换元法第四章不定积分暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲第一类换元法定理1,)()(uFuf有原函数设,)(可导且xu则有换元公式uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)暨南大学珠海学院苏保河主讲CxF)]([例1求解令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111解法2(直接凑微分):暨南大学珠海学院苏保河主讲想到公式Cxmxxmm111d22)(1d1axxa例2求解,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan暨南大学珠海学院苏保河主讲原式例2求解法2(直接凑微分):22)(1d1axxa2)/(1)/(axaxda1想到公式21duuCuarctan暨南大学珠海学院苏保河主讲例3求21duu想到Cuarcsin解2)(1daxax2)(1)(daxax暨南大学珠海学院苏保河主讲例4求解xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似可得暨南大学珠海学院苏保河主讲.ln21Caxaxa例5求解221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d暨南大学珠海学院苏保河主讲常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd暨南大学珠海学院苏保河主讲xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6求xln21xlnd解原式=xln2121)ln21(dx暨南大学珠海学院苏保河主讲例7求.d3xxex解原式=xexd23)3d(323xex.323Cex例8求.dsec6xx解原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtan.C暨南大学珠海学院苏保河主讲例9求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dx.)1ln(Cex解法2xeexxd1xxee1)1(d.)1ln(Cex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxxexeee两法结果一样暨南大学珠海学院苏保河主讲内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法利用恒等变形,及基本积分公式进行积分积分性质3.第一类换元法(凑微分法)CxFxxf)]([)(d))((xxxfd)()]([暨南大学珠海学院苏保河主讲作业P2041(2,4,6,8,10,11,13,14);2(2,6,8,9,11,13,14,16,18).P1901(3,5,13,14,16,18,20,21,23,24,25,26);2;4*.暨南大学珠海学院苏保河主讲下次课内容:不定积分的第一类换元法第五章第一节定积分的概念与性质1若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10课外练习暨南大学珠海学院苏保河主讲2若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示B由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx暨南大学珠海学院苏保河主讲3已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA,12,0ABA.,2121BA暨南大学珠海学院苏保河主讲