2.1.1 指数与指数幂的运算(二)

2.1.1指数与指数幂的运算(二)第二章§2.1指数函数学习目标1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一分数指数幂根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案答案当a0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数.①5a10＝5a25＝a2＝105a(a0)；②a8＝a42＝a4＝82a(a0)；③4a12＝4a34＝a3＝124a(a0).一般地，分数指数幂定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a0，m，n∈N*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a0，m，n∈N*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.梳理mnanammna－1mna0没有意义思考知识点二有理数指数幂的运算性质我们知道32×33＝32＋3.那么成立吗？答案答案成立.＝64×364＝82×343＝8×4＝32,＝6645＝6256＝25＝32.113264641152366464＝11113232646464梳理整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q).知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数题型探究命题角度1分数指数幂化根式例1用根式的形式表示下列各式(x0，y0).(1)；解答类型一根式与分数指数幂之间的相互转化(2).25x53x－解25x＝5x2.解53x－＝13x5.实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.反思与感悟跟踪训练1用根式表示(x0，y0).解答2132xy－解＝1x·3y2.221332121·xyyx－＝命题角度2根式化分数指数幂例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.解答(1)5a6；解5a6＝65.a(2)13a2；解13a2＝23231.aa－＝解答(3)4b3a2；解4b3a2＝b3a2＝(4)－a6.解－a6＝a6＝62a＝a3.1432134424.baab－－＝反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义.如(－1)13＝3－1＝－1，但就不是实数了.为了保证在mn取任何有理数时，都有意义，所以规定a0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.mna121mna跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：解答(1)682；(2)aa(a0)；1177636622128222(2)2.解解1331322224().aaaaaaa解答(3)b3·3b2；解b3·3b2＝b3·(4)13x5x22.21133.bb＝解3591324922533335352555111111.()()()xxxxxxxxxx例3计算下列各式(式中字母都是正数)：类型二运用指数幂运算公式化简求值(1)(0.027)23＋(27125)13－(279)0.5；解答解(0.027)23＋(27125)13－(279)0.5＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)解答解原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236ab＋－＋－＝4ab0＝4a.211511336622(2)(6)(3)ababab－－；(3)解答解111222.mmmm－－＋＋＋2112211122111122222.mmmmmmmmmm一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.反思与感悟跟踪训练3(1)化简：(18)13×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6；解答解原式＝1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)223112.－－＋＋(2＋＝2+＋＝解答解＝5×(－4)×(－65)×(2)化简：21321111362515()()46xyxyxy－－－；－－21321111362515()()46xyxyxy2111111()(1)()033226662424.xyxyy－－－－－－－＝＝(3)已知1122xx－＋＝5，求x2＋1x的值.解答解由x12＋x12－＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得:x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23.例4已知a0，b0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.类型三运用指数幂运算公式解方程解答解方法一∵a0，b0，又ab＝ba，11199ababbbababaa＝＝＝，∴a89＝919⇒a8＝32⇒a＝43.方法二∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝43.指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.反思与感悟跟踪训练4已知67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值.解答∴＝60367＝9＝32，解由67x＝33，得67＝3，由603y＝81得603＝3，3x4y433yx∴4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.当堂训练1.化简8的值为A.2B.4C.6D.8√答案23451232.25等于A.25B.C.5D.答案234511251512√3.用分数指数幂表示(ab)为A.B.C.D.答案√23451a－b312ab12ba32ab23ab4.()4等于A.a16B.a8C.a4D.a2答案√36a9234515.计算的结果是A.32B.16C.64D.128√答案234512122242规律与方法1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.本课结束