【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第3章第7节正弦定理和余弦定理

45主干知识自主排查2核心考点互动探究3真题演练明确考向课时作业目录CONTENTS1高考导航考纲下载第三章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题．[知识梳理]1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝____，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22abb2R必记结论三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π2)．2．三角形的面积S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.[自主诊断]1．(2016·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4解析：利用余弦定理列出关于AC的方程，解方程即可得解．由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.A2．(2017·兰州诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB，则B＝()A.π6B．π4C.π3D．π2解析：根据题意结合正弦定理，得sinBsinA＝3sinAcosB．因为sinA≠0，所以sinB＝3cosB，即sinBcosB＝tanB＝3，所以B＝π3，故选C.C3．(2017·广州测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则cb为()A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC解析：∵C＝2B，bsinB＝csinC，∴cb＝sinCsinB＝sin2BsinB＝2sinBcosBsinB＝2cosB．B4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B．932C.332D．33C解析：∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.5．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D．6－2解析：在△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.A6．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D．32解析：在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝23.B7．(2015·高考安徽卷)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.解析：∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsinC＝ACsinB，即6sin60°＝ACsin45°，解得AC＝2.2利用正、余弦定理解三角形1．(1)(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B．3C．2D．3利用余弦定理列方程求解．由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.D考点一即时应用(2)(2016·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBcosA.①证明：a＋b＝2c；②求cosC的最小值．①证明：由题意知2sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB．因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.②由①知c＝a＋b2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋b222ab＝38ab＋ba－14≥12，当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为12.考点一即时应用1.规律方法正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．2．易错纠偏由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时，易忽视解的判断.[即时应用]1．(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝________.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得2sinC＝3sin60°，解得sinC＝33.∵AB＜AC，∴C＜B，∴cosC＝1－sin2C＝63.63考点一即时应用利用正、余弦定理判定三角形的形状2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAcosB＝ba＝2，则该三角形的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形因为cosAcosB＝ba，由正弦定理得cosAcosB＝sinBsinA，所以sin2A＝sin2B.由ba＝2，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.A考点二变式点2母题的条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，确定△ABC的形状．考点二解析：法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，考点二∴c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．考点二法二：利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，考点二又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°＜C＜180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形.思维升华判定三角形形状的2种常用途径(1)途径一：角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．(2)途径二：边化角通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.考点三即时应用与三角形面积有关的问题3．(2016·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．考点三即时应用解析：(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.考点三即时应用(2)由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB．因为sinB≠0，所以sinC＝cosB．又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.[即时应用]2．(2017·湖南调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且(2b－c)cosA＝acosC.(1)求角A的大小；(1)由(2b－c)cosA＝acosC，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)，所以2sinBcosA＝sinB，因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以cosA＝12，因为0＜A＜π，所以A＝π3.考点二即时应用(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝π3，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝4c2＋c2－94c2＝12，解得c＝3，所以b＝23.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×23×3×32＝332.考点二即时应用利用正弦、余弦定理解三角形一直是命题的重点，选择、填空、解答题均有出现，主要涉及三角形中元素要求，面积问题及与不等式综合考查，难度中档偏下．1．(2016·高考全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B．1010C．－1010D．－31010C解析：利用正、余弦定理或三角恒等变换求解．法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsinB，∴c＝23a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，∴b＝53a.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.故选C.法二：同法一得c＝23a.由正弦定理得sinC＝23sinA，又B＝π4，∴sinC＝sin3π4－A＝23sinA，即22cosA＋22sinA＝23sinA，∴tanA＝－3，∴A为钝角．又∵1＋tan2A＝1cos2A，∴cos2A＝110，∴cosA＝－1010.故选C.2．(2016·高考全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.解析：先求出sinA，sinC的值，进而求出sinB的值，再利用正弦定理求b的值．因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理得b＝asin