分段函数知识点及常见题型总结

第1页分段函数知识点及常见题型总结资料编号:20190726一、分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称x为分段函数.关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.二、几种常见的分段函数1.取整函数（表示不大于的最大整数）.xyxx其图象如图（1）所示.xy值值1值值值值值值值值O–1–2–3123–1–2–3123xy值值2值值值值值值值值值Ofx=x+2–1–2–3–4–512–1123第2页2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数,其图象如图22222xxxxxy（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.3.自定义函数如函数为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.2221211)(2xxxxxxxxf4.符号函数xysgn符号函数,其图象如图（4）所示.010001sgn)(xxxxxf符号函数的性质:.xxxsgnxy值值3值O–1–2–3123–1–2–3123xy值值4值值值值值值值值–1–2–3123–1–212O说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点.三.分段函数的常见题型1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现的形式时,应从内到外依次求值.))((aff第3页例1.已知函数,则的值为【】,2,2,2,21)(2xxxxxxf))1((ff（A）（B）2（C）4（D）1121解:∵,∴,∴2132112f3))1((fff∵,∴,∴.【C】.23423133f4))1((ff习题1.已知函数,则【】,0,3,0,34)(2xxxxxxf))5((ff（A）0（B）（C）（D）1212.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2.已知函数,若,则_________.)21()1(2)(2xxxxxf3)(xfx解:当时,,解之得:,不符合题意,舍去;1x32x1x当时,,解之得:,其中,舍去,∴21x32x3x13x3x综上,.3x习题2.已知函数,若,则的值是【】)0(2)0(1)(2xxxxxf5)(xfx（A）（B）2或225（C）2或（D）2或或2225习题3.已知,若,则实数的值等于_________.)0(1)0(2)(xxxxxf0)1()(fafa3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.第4页例3.已知函数,求使成立的的取值范围.)1(32)1(23)(22xxxxxxf2)(xfx解:由题意可得:或22312xxx23212xx解不等式组得:1≤;22312xxx371x解不等式在得:或23212xx22x122x∴使成立的的取值范围为.2)(xfx3712222xxx或习题4.已知,则不等式≤2的解集为【】0001)(xxxfxxxf)(（A）（B）（C）（D）1,02,01,2,习题5.设函数,则不等式的解集是____________.06064)(2xxxxxxf)1()(fxf习题6.函数,若,则实数的取值范围是_________.434212)(xxxxxxxf3)(afa例4.已知,函数,若,则的值为_________.0a1212)(xaxxaxxfafaf11a解:当,即时,11a0a11a∴,aaaaf2121aaaaf31211∵afaf11∴,解之得:,不符合题意,舍去;aa312023a当,即时,11a0a11a,aaaaf1211aaaaf32121∵afaf11第5页xy值值5值O–1–2–3123–1–2–3–412∴,解之得:,符合题意.aa32143a综上,的值为.a43习题7.设,若,则_________.)1(12)10()(xxxxxf)1()(afafaf1习题8.设函数,,则当时,【】)0()0()(2xxxxxf)2()2()(2xxxxx0x))((xf（A）（B）（C）（D）x2xx2x习题9.设函数,若,则实数的值为【】)0(1)0(121)(xxxxxfaaf)(a（A）（B）11（C）或（D）或21124.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5.函数的定义域是_________.)2(12)21(1)10(2)(xxxxxxxf解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为.,0,22,11,05.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域（图象法）.例6.设R,求函数的值域.xxxy312解:当≥1时,;x2312xxxy当0≤时,;1x25312xxxy当时,.0x2312xxxy综上所述,)0(2)10(25)1(2xxxxxxy第6页xy值值6值O–1–2–3123–1–2–3–4123其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为.2,另解:由上面可知:)0(2)10(25)1(2xxxxxxy当≥1时,函数的值域为;x2xy3,当0≤时,函数的值域为;1x25xy2,3当时,函数的值域为.0x2xy2,∴函数的值域为.xxy3123,2,32,2,例7.若R,函数是这两个函数值中的较小者,则函数的最大值x)(xfxyxy,22)(xf为【】（A）2（B）1（C）（D）无最大值1解:解不等式≥得:≤≤122xx2x∴当≤≤1时,,其值域为;2xxxf)(1,2解不等式得:或xx221x2x∴当或时,,其值域为1x2x22)(xxf1,综上所述,)21(2)12()(2xxxxxxf或函数的值域为)(xf1,21,1,∴函数在其值域内的最大值为1.)(xf函数的图象如图（6）所示.)(xf习题10.若函数,则函数的值域是【】)2015(5)1510(4)100(2)(xxxxf)(xf（A）（B）（C）（D）5,4,25,24,25,4第7页习题11.函数的值域是【】)2(3)21(2)10(2)(2xxxxxf（A）R（B）（C）（D）,03,032,0习题12.已知函数.2221)(xxxxf（1）用分段函数的形式表示该函数;（2）画出该函数的图象;（3）写出该函数的值域.习题13.已知函数.)0(21)0(2)0(3)(2xxxxxxf（1）画出函数的图象;)(xf（2）求,的值;))(1(2Raaf))3((ff（3）当≥2时,求的取值范围.)(xfx第8页xy值值7值O